Matrices

Matemática Básica I

MATRICES
El primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el matemático inglés James
Joseph Sylvester en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los
matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto
empleaban tablas con números.
Las matrices nos permiten organizardatos, realizar planeaciones de
producción, de acciones, de dietas, resolver sistemas de ecuaciones lineales,
resolver ecuaciones diferenciales, entre otros.

CONCEPTOS BÁSICOS Y TIPOS DE MATRICES
MATRIZ
Se llama matriz a un ordenamiento rectangular de elementos que pueden ser números,
funciones, dispuestos en filas y columnas, tiene la siguiente forma:

 a11

 a 21
A =  a 31
 ...
a
 m1

a12

a13

a 22
a 32

a 23
a 33

...
am2

...
a m3

.... a1n 

... a 2 n 
... a 3n 

... ... 
... a mn 


()

Esta matriz tiene “m” filas y “n” columnas
que se simboliza así:
donde

A = ai j

mxn ;

aij es el elemento de la matriz.

ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de un matriz está indicado por el número de filas y el número de columnas. Amxn : Matriz de m filas y n columnas
 ai j : Denota los elementos de la matriz
El primer subíndice (i), denota la fila
El segundo subíndice (j), denota la columna.
Ejemplo

 −2 1 4 3 
A=

 5 2 3 −1 2×4
.
 Algunos elementos de la matriz:

a

Es una matriz de orden 2 x 4
(2 filas y 4 columnas).

21

= 5;

a

24

= −1 ;

a 13 = 4

Nota: Debemos tener cuidado queen realidad las matrices no representan un valor numérico
simplemente es una manera conveniente de representar arreglos de números.

1

Matemática Básica I

IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan
el mismo lugar. Es decir, siendo:
A = (a ij )mxn ; B = (bij )mxn
Si ∀ i∈{1,2,...,m} y ∀ j∈{1,2,...,n} se cumple que:aij = bij , entonces A = B

TIPOS DE MATRICES
De acuerdo a la disposición de sus elementos o de la naturaleza de estos. Estudiaremos a la
matrices cuadradas y rectangulares y sus tipos más usados
A.- MATRIZ CUADRADA
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es
de orden nxn o simplemente es una matriz de orden n.
Ejemplo.
1 3 − 2 
A =  28 − 3


1 7 1 



matriz cuadrada de orden 3x3

5 5 3

3 6 2
B=
2 41

 −1 1 2


8

7
6

4


matriz cuadrada de orden 4x4

1.-MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus elementos son ceros a excepción de por lo
menos un elemento de la diagonal principal: Se denota por: D=diag (d 11 , d 22 ,...,d nn ).
Ejemplo.
1 0 0 0 

0 2 0 0 
A=
0 0 1 0


0 0 0 3 



1 0 0
B = 0 3 0 


0 0 2 



matriz diagonal

matriz diagonal

2.-MATRIZ ESCALAR
Es una matriz diagonal y sus elementos de la diagonal principal son iguales y no nulos.
Ejemplo.
2 0 0 0 


0 2 0 0 
A=
0 0 2 0


0 0 0 2 



3 0 0
B = 0 3 0 


0 0 3 



matriz escalar

matrizescalar

3.- MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz escalar y sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
2

Matemática Básica I

Ejemplo.
1 0 
I= 

0 1 

1 0 0
I = 0 1 0 


0 0 1 



1
0
I= 
0

0

Matriz identidad de orden 2

Matriz identidad de orden 3

Matriz identidad de orden 4

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0

0
1

4.- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR - INFERIOR
Una matriz cuadrada A = (a ij ) mxn es una matriz triangular superior, si todas los elementos bajo
la diagonal principal son iguales a cero.
Una matriz cuadrada A = (a ij ) mxn es una matriz triangular inferior, si todas los elementos
encima de la diagonal principal son iguales a cero.
Ejemplo.
5 5

0 6
C =
00

0 0


 5...