Matrices

Cap´
ıtulo 1

Matrices y sus operaciones
1.1.

Definiciones

Dados dos enteros m, n ≥ 1 y un cuerpo conmutativo I llamamos matriz de m
K,
filas y n columnas con coeficientes en I a un conjunto ordenado de n vectores
K
C1 = (a11 , a21 , . . . , am1 ), C2 = (a12 , a22 , . . . , am2 ), . . . ,
Cn = (a1n , a2n , . . . , amn ),
m

del espacio I .
K
Las matrices se escriben en forma decuadro rectangular, encerrado entre par´ntee
sis, colocando las componentes de los vectores C1 , C2 , . . . , Cn en vertical, unas a
continuaci´n de las del otro:
o


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 .
.
. 
 .
.
. 
.
.
.
am1

am2

...

amn

Los vectores dato se denominan columnas de la matriz. La propia manera de
presentar una matriz sugiere la consideraci´nde m vectores
o
F1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), F2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ), . . . ,
Fm = (am1 , am2 , . . . , amn ),
n

del espacio I , los cuales reciben el nombre de filas de la matriz. Con ellos como
K
dato se podr´ haber dado una definici´n alternativa de matriz: ser´ un conjunto
ıa
o
ıa
ordenado de m vectores del espacio I n .
K
Cada una de las componentes de cada uno de losvectores datos se conoce como un
coeficiente de la matriz. Su doble ´
ındice indica que aij es el coeficiente situado
en la fila i-´sima y en la columna j-´sima. En total hay mn coeficientes.
e
e

2

Cap´
ıtulo 1. Matrices y sus operaciones

Con frecuencia usaremos la escritura abreviada
(aij ),
sobreentendiendo que i ∈ [1, m] y j ∈ [1, n]. Incluso, se aluda o no a los coeficientes,
lamatriz se escribe con una sola letra may´scula, tal como A, B, M , N , etc. En estos
u
casos, Fi (A) indicar´ la fila i-´sima en la matriz A y Cj (A) la columna j-´sima; a
a
e
e
veces pondremos eij (A) para indicar el coeficiente ubicado en el cruce de Fi (A) con
Cj (A).
El conjunto de todas las matrices de m filas, n columnas y coeficientes en I se
K
denota por el s´
ımbolo
M(m, n, IK).

1.2.

Igualdad de matrices

Por haber definido la matriz como un conjunto ordenado de n vectores, es claro que
dadas dos matrices
A, B ∈ M(m, n, I
K)
se cumple
A = B ⇒ Cj (A) = Cj (B), ∀j ∈ [1, n].
Si A = (aij ), B = (bij ), como cada columna es, a su vez, una m-upla ordenada
de elementos de I cada una de las igualdades vectoriales de antes equivale a m
K,
igualdades escalaresreferidas a sus componentes. Es decir, la igualdad matricial
equivale a mn igualdades escalares:
A = B ⇒ aij = bij , ∀i ∈ [1, m], ∀j ∈ [1, n].
Estas igualdades conducen a otra equivalencia, ahora por filas:
A = B ⇒ Fi (A) = Fi (B), ∀i ∈ [1, m].

1.3.

Tipos particulares de matrices

Hay algunas matrices que reciben nombres propios. Entre ellas vamos a destacar las
siguientes:
a) Matricescolumna: Corresponden al caso en que m es arbitrario pero n = 1.
Sus coeficientes se escriben con un solo ´
ındice,


a1
 a2 
A =  . ,
 . 
.
am
y cada una de sus filas es un escalar.

1.3.

Tipos particulares de matrices

3

b) Matrices fila: Ahora es m = 1 y n cualquiera. Tambi´n se escriben con un
e
solo ´
ındice,
A = ( a1 a2 . . . an ) ,
siendo escalares cada una desus columnas.
c) Matrices cuadradas: Se llaman as´ aquellas en que m = n:
ı


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
A= .
.
. .
 .
.
. 
.
.
.
an1 an2 . . . ann
Tanto sus filas como sus columnas ser´n vectores de un mismo espacio I n . El
a
K
conjunto de todas ellas se escribe como
M(n, I
K).
d) Matrices triangulares: Una matriz cuadrada recibe el nombre desupratriangular cuando


a11 a12 . . . a1n
 0 a22 . . . a2n 
A= .
.
.  ⇒ aij = 0, ∀i > j.
 .
.
. 
.
.
.
0
0 . . . ann
En cambio, se llamar´ infratriangular si
a


a11
0 ...
0
0 
 a21 a22 . . .
A= .
.
.  ⇒ aij = 0, ∀i < j.
 .
.
. 
.
.
.
an1

an2

...

ann

Unas y otras se nombran como triangulares.
e) Matrices diagonales: En toda matriz cuadrada A =...