Matrices

Tema 6
Matrices y determinantes
Objetivo: El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las matrices, determinantes y sus propiedades a
problemas que requieren de ellos para su resolución.
Contenido:
6.1 Definición de matriz y de igualdad de matrices
6.1.1 Operaciones con matrices y sus propiedades
6.1.2 Adición de matrices
6.1.3 Sustracción de matrices
6.1.4 Multiplicación dematrices
6.1.5 Multiplicación de una matriz por un escalar
6.1.6 Matriz identidad
6.2 Inversa de una matriz
6.2.1 Definición y propiedades de la inversa de una matriz
6.2.2 Cálculo de inversa por transformaciones elementales
6.3 Ecuaciones matriciales
6.3.1 Ecuaciones matriciales y su resolución
6.3.2 Representación y resolución matricial de ecuaciones lineales
6.4 Tipos especiales de matricescuadradas
6.4.1 Matriz triangular y sus propiedades
6.4.2 Matriz diagonal y sus propiedades
6.4.4 Definición de traza de una matriz y propiedades
6.5 Operaciones sobre una matriz
6.5.1 Transposición de una matriz y sus propiedades
6.5.2 Matriz simétrica y sus propiedades
6.5.3 Matriz antisimétrica y sus propiedades
6.5.4 Matriz ortogonal y sus propiedades
6.5.5 Conjugación de una matriz ysus propiedades
6.5.6 Matriz hermitiana y sus propiedades
6.5.7 Matriz antihermitiana y sus propiedades
6.5.8 Matriz unitaria y sus propiedades
6.5.9 Potencia de una matriz y sus propiedades.
6.6 Determinante de una matriz
6.6.1 Definición de determinante de una matriz y sus propiedades
6.6.2 Cálculo de determinantes: Regla de Sarrus, desarrollo por cofactores y método de
condensación6.6.3 Cálculo de la inversa por medio de la matriz adjunta
6.6.4 Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de orden superior a
tres.

MATRICES Y DETERMINANTES (G€®)

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ADICIÓN DE MATRICES Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

6.1 Definición de matriz y de igualdad de matriz
6.1.1 Definición
Una matriz de m  n con elementos en C es arreglo de la forma
 a11
a 21


 am 1

a12
a22
am 2

a1n 
a2 n 



amn 

donde a11 , a12 ,..., amn  C y m, n  Z

Igualdad de matrices
La igualdad de matrices se define formalmente como sigue:
6.1.2 Definición
Sean A  aij  y B  bij  dos matrices de m  n con elementos en C. Diremos que A y B son iguales,
 
 
lo que representaremos con A = B, si: aij  bij para i  1,2,..., m yj  1,2,..., n

Adición de matrices y multiplicación por un escalar
La adición de matrices
6.1.3 Definición
Sean A  aij  y B  bij  dos matrices de m  n con elementos en C. La suma A + B es una matriz
 
 
S   sij  , de m  n , definida por: sij  aij  bij ; para i  1,2,..., m y j  1,2,..., n
 
La adición de matrices, definida anteriormente satisface las propiedades quese enuncian a continuación:
6.1.4 Teorema
Si A, B y C son matrices de m  n cuyos elementos son números complejos, entonces:
i) A   B  C    A  B  C
Asociatividad
ii) A  B  B  C
Conmutatividad
iii) Existe una matriz 0 de m  n tal que
A0  A
Elemento idéntico
iv) Existe una matriz –A de m  n tal que
A  A   0
Elemento inverso

La sustracción de matrices
La resta osustracción de matrices puede definirse ahora, a partir de la adición y de la propiedad iv de
6.1.4, como sigue:
6.1.5 Definición
Sean A  aij  y B  bij  dos matrices de m  n con elementos en C. La diferencia A − B se define
 
 
como: A  B  A  ( B)
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ADICIÓN DE MATRICES Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

La multiplicación por un escalar6.1.6 Definición
Sean A   aij  una matriz de m  n con elementos en C y α ∈ C. El producto αA es una matriz
 
E  eij  , de m  n , definida por: eij  aij ; para i  1,2,..., m y j  1,2,..., n
 

La multiplicación por un escalar satisface las siguientes propiedades.
6.1.7 Teorema
Si A, B y C son matrices de m  n cuyos elementos son números complejos y α, β ∈ C, entonces:

...