Matrices

FACULTAD DE INGENIERÍA
DPTO. DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
Álgebra Lineal FMM110

◦

Guía N 1

1.

Ejercicios

1. Considerar las matrices:



05
−2 8
, Y = −2 3 , Z =13
47

X=

015
136

Calcule las siguientes operaciones: Y X, Y Z, (Y X )Z, Y (XZ ).





1 −2
3
−1
2
3
2. Dada las matrices A =  0 −1 4  , B =  4 0 −1 
2
0 −1
0 −2
3Calcule AB y BA.

3. Encontrar ejemplos especícos (numéricos) de matrices A, B y C en M2×2 (R) tales
que:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)

AB = −BA.
(A + B )2 = A2 + B 2 (use (i)).
A2 = −I .
BC= 0, pero ni B ni C son la matriz nula.
BC = 0, pero CB = 0.

−1
0
2 −1
las siguientes ecuaciones matriciales para X ∈ M2×2 ( ):

4. Considere las matrices A =
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)1 −2
−1
3

,B =

,C =

R

AX = B .
AX + B = C .
At X = C .
ABX = C t .
(AC − XB )t − AX t = C 2 + BX t .

5. Encuentre todas las matrices de la forma
1

xy
0y

tal que A2 = I .21
. Resuelva
34

6. Sea A ∈ M2×2 (R). Pruebe que:
01
, entonces existen números reales a y b tal que
00

(i) Si A conmuta con la matriz
A=

ab
.
0a
00
, entonces existen númerosreales a y b tal que
01

(ii) Si A conmuta con la matriz
A=

a0
.
0b

7. Sea A = (aij ) ∈ Mn×n (R). Se dene la traza de A, tr(A), como la suma de los elementos
de la diagonal principal de A.Es decir,
n

tr(A) =

aii
i=1

.
Demuestre las siguientes propiedades de la traza de una matriz:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)

tr(A + B ) = tr(A) + tr(B ).
tr(AB ) = tr(BA).
tr(P −1 AP )= tr(A) para cualquier matriz invertible P (use (b)).
tr(λA) = λtr(A) para cualquier escalar λ ∈

R.

tr(At ) = tr(A).

8. Demuestre que si A, B y (A + B −1 ) son matrices invertibles,entonces (A−1 + B ) también
es invertible y su inversa es A(A + B −1 )−1 B −1 .
9. Sea A ∈ Mn×n (R). Demuestre que A es invertible si y sólo si AAt es invertible.
10. Demuestre que si A es una matriz...