matrices

MATRICES
Definición de matriz.
Una matriz A de orden m×n es un conjunto de m×n elementos pertenecientes a un conjunto, que
para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos en m filas y n
columnas
 a 1.1 a 1.2 ... a 1.n 


 a 2.1 a 2.2 ... a 2.n 
A=
= a i. j i =1, 2,3,..., m
M
M
M 
j=1, 2,3,...n


a
a m.2 ... a m.n 

 m.1( )

K puede ser el cuerpo R ó C y en caso de no decir nada en contra será el cuerpo de los reales.
Cada elemento de una matriz lleva dos subíndices, el primero corresponde a la fila del elemento
y el segundo a la columna.
Nomenclatura.
Sí m=1, se llama matriz fila.
Sí n=1, se llama matriz columna.
Sí m≠n, se llama matriz rectangular.
Sí m=n, se llama matriz cuadrada.
Notaciones
Alconjunto de matrices de orden m×n, cuyos elementos toman valores en cuerpo K se denota
por M(m,n,K).
Sí K=R, es usual la notación M(m,n) ó Mm×n en lugar de M(m,n,R).
El conjunto de matrices cuadradas de orden n se denota por M(n,K). Sí K=R, se suele denotar
M(n) ó Mnxn
Matriz nula (0) es aquella matriz en que aij=0 ∀i=1,2,...,m, ∀j=1,2,...,n. Hay una matriz nula
para cada orden de matrices.
Sedefine como diagonal principal de una matriz cuadrada A de orden n a los elementos de la
forma:
aii ∀i=1,2,...,m
Se define como traza de una matriz cuadrada A, a la suma de los elementos de la diagonal
principal
Traza A = Tr(A) = a11+a22+....+ann
Operaciones con matrices. Propiedades y estructura de las operaciones.
a) Igualdad: Dos matrices A y B del mismo orden m×n son iguales sí aij =bij, ∀ i =1,2,...,m, y
∀ j =1,2,...,n
b) Suma: Dadas dos matrices A y B del mismo orden m×n se define la matriz suma C=A+B
como la matriz de orden m×n tal que
cij=aij+bij ∀i=1,2,...,m, ∀j=1,2,...,n
a 1.2 + b1.2 L a 1.n + b1.n 
 a 1.1 a 1.2 L a 1.n   b1.1 b 1.2 L b 1.n   a 1.1 + b 1.1

 
 

 a 2.1 a 2.2 L a 2.n   b 2.1 b 2.2 L b 2.n   a 2.1 + b 2.1 a 2.2 + b 2.2 L a 2.n +b 2.n 
=
+

 M
M
M
M
M
M  
M
M   M

 
 


 
 
a
 m.1 a m.2 L a m.n   b m.1 b m.2 L b m.n   a m.1 + a m.1 a m.2 + a m.2 L a m.n + a m.n 

c)

Propiedades de la suma:
• Commutativa. A + B = B + A
• Asociativa. (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento neutro. A + 0 = A
• Elemento opuesto. A + (−A) = 0
Producto por un número: Dada una matriz A deorden m×n y un elemento λ∈R la matriz
B = λ·A (producto de la matriz A por el número λ) es una matriz de orden m×n cuyo
elemento genérico
bij = λ·aij ∀ I =1,2,...,m, ∀j=1,2,...,n

1

 a 1.1 a 1.2 L a 1.n   λ ⋅ a 1.1 λ ⋅ a 1.2 L λ ⋅ a 1.n 

 

 a 2.1 a 2.2 L a 2.n   λ ⋅ a 2.1 λ ⋅ a 2.2 L λ ⋅ a 2.n 
=
λ ⋅
M
M 
M
M
M   M

 


 λ ⋅a
a
m.1 λ ⋅ a m.2 L λ ⋅ am.n 
 m. 1 a m. 2 L a m . n  
Propiedades de producto por escalares
• k·(A + B) = k·A + k·B
• (k1 + k2)·A = k1·A + k2·A
• (k1·k2)·A = k1·(k2·A)
• I·A = A
• 0·A = 0
d) Producto de matrices: Dadas dos matrices, A de orden m×n y B de orden n×p, su matriz
producto C=A·B es una matriz de orden m×p. Para multiplicar matrices se toman los
elemento de la 1ª matriz como vectores fila y loselementos de la 2ª matriz como vectores
columnas, de está forma, la matriz producto estará formada por los productos escalares de
los vectores fila de la 1ª matriz por los vectores columna de la 2ª matriz.
 a 1.1 a 1.2 ... a 1.n   b1.1 b1.2 ... b 1.p 

 

 a 2.1 a 2.2 ... a 2.n   b 2.1 b 2.2 ... b 2.p 
=
⋅
A m× n ⋅ B n × p = 
M
M 
M
M
M   M




 
a

m.1 a m.2 ... a m.n   b n.1 b n.2 ... b n.p 
F
F 1⋅C.1
F
 644444.7444448
644444.7444448
41⋅C.2
4
644444.7444448 
41⋅C.p
4 

a 1.1 b1.1 + a 2.1 b 2.1 + ... + a 1.n b n.1
a 1.1 b 1.2 + a 2.1 b 2.2 + ... + a 1.n b n.2 ... a 1.1 b 1.p + a 2.1 b 2.p + ... + a 1.n b n.p 

F2
F
F2
 644444.7444448
42⋅C.1
4
644444.744444 8
4 ⋅C.2
4
644444.744444 8 
4 ⋅C.p
4
 a b + a...