Matrices

TEMA 0 – MATRICES
Matriz :- Listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean para almacenar información, para describir relaciones, para el
estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística,
Geometría,...
0.1.DEFINICIONES BÁSICAS
• Matriz de orden m x n
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de unatabla de m filas y n columnas. Se simboliza
en las formas:

 a11 a12 L a1n 
a
a22 L a2 n 
21
 ,
A=
 M
M
M
M 


am1 am 2 L amn 

A = (c1 , c2 ,..., cn ),

ó

ó

A = (aij )m ∗n

 f1 
A= M 
 
 fm 
 

Siendo:
a ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j (j = 1, 2, ..., n)
fi :vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m)

1

• Matrices cuadradas
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas m = n. Los elementos {a11 , a22 ,.., ann }
forman la diagonal principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.

Traz ( A) = a11 + a22 + .... + ann

Las matrices cuadradas quetengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal se
denominan matrices triangulares.
Matriz diagonal: la que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.

 a11 0 L 0 
a
0 
21 a22 L

A=
 M
M
M
M 


 an1 an 2 L ann 
Triangular superior

a11 a12 L a1n 
0
a22 L a2 n 


A=
 M
M
M
M 


0
0
Lann 



Triangular inferior

a11 0 L 0 
0
a22 L 0 

A=
 M
M
M
M 


0
0 L ann 

Diagonal

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Las matrices de orden 1 x n y las de orden m x 1 se denominan, respectivamente, matriz fila y matriz columna.
• Matriz Identidad o Matriz unidad. Es aquella matriz diagonal que tiene sólo “unos” en la diagonal principal.
1
0
I =
M

0

0
1
M
0

0L 0 

M M

L 1
L

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0.2.OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales:
SUMA DE MATRICES
• Suma de dos matrices del mismo orden: es la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en
ambas.

C m ∗ n = Am ∗ n + Bm ∗ n
Sumándose elemento a elemento:

cij = aij + bij
El conjunto de matrices M m ∗ n de unmismo orden tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo respecto a la suma
matricial, cumpliéndose las siguientes propiedades:
1. Asociativa:
2. Conmutativa:

A + (B + C) = ( A + B ) + C
A+B=B+A
_

3. Elemento neutro:

A+ 0 = A
_

4. Elemento opuesto:

A + (-A) = 0
_

Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula (cuando todos los elementos son iguales a cero).4

PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR MATRIZ
El producto de un número real (k) por matriz A = (aij) es la matriz que resulta al multiplicar el escalar por cada uno de los
elementos de la matriz.

k⋅A=B

/ A, B ∈ M m ∗ n y

k∈R

bij = k ⋅ aij

Siendo:

0.3.PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden m x n, por otra matriz B de orden n x p, es la matriz C, de orden m x p,cuyo elemento
genérico cij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.

Am∗ n ⋅ Bn ∗ p = Cm∗ p / cij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ain ⋅ bnj
Propiedades:
1. Asociativa:

A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C

2. Distributivas:

A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C

y también: ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C

A−1 ⋅ A = A ⋅ A−1 = I (ojo, nosiempre existe)1.
4. No cumple la Conmutativa: A ⋅ B ≠ B ⋅ A
3. Elemento Simétrico:

1

donde I: Matriz Identidad

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0.4. TRANSPOSICIÓN MATRICIAL
Transpuesta de una matriz A, de orden m x n, es la matriz At, de orden n x m, cuyas filas son las columnas de A.

A ∈ M m∗n Transposición → At ∈ M n∗m
  
Ejemplo:

 1 2


 1 − 3 0
A=
 ⇒ At =  − 3 1 
 2 1 5
...