Matrices

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

En muchos análisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matriz. En esta sección se define la transpuesta de una matriz, le de unasuma o diferencia de matrices, y la de un producto de matrices.
La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A´, cuyas filas son las columnas de A, ycuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si

Entonces la transpuesta de A es

Nótese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna también n-dimensional, y análogamente,la transpuesta de un vector columna de n-dimensiones es un vector fila de n-dimensiones también. La transpuesta de una matriz diagonal es la misma matriz diagonal.

EJEMPLO

Si , entonces
Si ,entonces

Si , entonces

Si , entonces

Si , entonces

Si , entonces

Si una matriz (cuadrada) y su transpuesta son iguales, es decir, para toda i y toda j, entonces la matriz sedenomina simétrica (con respecto a su diagonal principal). En los dos últimos ejemplos citados, las matrices son simétricas.
Una matriz simétrica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice quees idempotente. Por tanto, A es idempotente sólo si
A´ = A y AA = A
EJEMPLOS
A.
Una matriz identidad (de cualquier orden) es idempotente, puesto que
In´ = In y In In = In
B.
La matriz
esidempotente, puesto que y

TRANSPUESTA DE UNA SUMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICES

La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de lasmatrices; por consiguiente,
(Amxn ± Bmxn ± Cmxn)´= A´nxm ± B´nxm ± C´nxm
es decir, (di j)´mxn = (di j)nxm
en donde y .

EJEMPLOS

A.
Si
entonces [A + B + C]´ =
o de otra manera A´ + B´ + C´=
B.
Si
entonces [A - B + C]´ =
o, alternativamente, A´ - B´ + C´ =

TRANSPUESTA DE UN PRODUCTO DE MATRICES

La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las...