Matrices

Matrices
Una matriz se define como un arreglo bidimensional de datos, que tiene n filas y m columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será dedimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2x2, 3x3, 4x4,...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila: i y en la columna: j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugaren ambas, son iguales.
Frecuentemente, encontramos conjuntos de números colocados en filas y columnas formando un rectángulo. Por ejemplo, en el examen de matemática, luego de valorar el ejercicio escrito realizado por los estudiantes, se presento el siguiente resultado:

ALUMNOS | APROBADOS | NO APROBADOS | INASISTENTES |
VARONES | 8 | 5 | 2|
HEMBRAS | 9 | 4 | 5 |

En dicha tabla se indica los números de alumnos (varones y hembras), aprobados y no aprobados en el ejercicio escrito. Si omitimos la fila y la columna de títulos y dirigimos nuestra atención a la disposición de los números y los encerramos dentro de un paréntesis o corchete, podemos obtener un arreglorectangular de números reales que reciben el nombre de matriz:
→ filas
↓columnas
Ejemplo:
852945 Ó 852945
Donde las líneas horizontales reciben el nombre de Filas y las líneas verticales el nombre de Columnas. En el ejemplo la primera fila es (8 5 2) y la segunda (9 4 5). La primera columna es 89, la segunda 54 y la tercera columna 25.
Tipos de Matrices
Las matrices se clasificandependiendo del número de filas y columnas que poseen y también dependiendo del valor que toman sus elementos:
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Ejemplo:
23-1
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna.
Ejemplo:
-716
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Ejemplo:
852945Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Ejemplo:
12-53650-14
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Ejemplo:
0000

Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementossituados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
582041007

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
200120356
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo:

200080006
Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
782571437

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ejemplo:
100010001

Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiandoordenadamente las filas por las columnas.

Ejemplo:
A=230120356 At=213325006
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una...