matrices

UNIDAD 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En la unidad anterior se determinaba el valor de x que satisface a una sola ecuación f(x)=0. Ahora se trata el caso de determinar los valores x1, x2, x3…….xn, que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones.











En esta unidad se trata de ecuaciones algebraicas lineales que son de la FORMA GENERAL








Donde a=son coeficientes constantes.
c= son constantes.
n= es el numero de ecuaciones.




La resolución de sistemas de casi cualquier número de ecuaciones es una realidad hoy gracias a las computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las técnicas de soluciones directas e iterativas.

Sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos básicos sobrematrices, ortogonalizacion de vectores y la existencia y unicidad de las soluciones.


MATRICES
Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas como:









Los elementos “a” son números reales. Al conjunto horizontal de elementos se le llama renglón y al conjunto vertical se le llama columna. Al primer subíndice denota el número de renglón y el segundo subíndicedenota la columna por ejemplo: está en el renglón 2 y columna 1.

Cuando se hace referencia a una matriz es conveniente especificar el número de filas (m) y columnas(n), así la expresión m x n, indica que se trata de un matriz con m y n dimensiones.

Las matrices con dimensión m=1 en el renglón como:
[B]= [b1, b2,…..bn] se le llama vectores de renglón.

Las matrices con dimensión n=1 en lacolumna, como:
c1
[C]= c2
cm


TIPOS DE MATRICES

A las matrices donde m=n se les llama matrices cuadradas. Porque tienen el mismo número de filas y columnas. Por ejemplo, una matriz 4x4 es













Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero, como en



[A]=






Una matrizidentidad es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, como en:



[I]= El símbolo [I] denota la matriz identidad.







Una matriz triangular superior es aquella donde todos sus elementos bajo la diagonal principal son cero, como:









Una matriz triangular inferior es aquella donde todos sus elementos arriba de la diagonalprincipal son ceros, como:









REGLAS DE OPERACIÓN SOBRE MATRICES

Para sumar dos matrices A y B han de ser de las mismas dimensiones; la suma es una matriz C de iguales dimensiones que A y B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B.

Ejemplos:

Sumar las matrices
y =
=

MULTIIPLICACION DE MATRICES POR UN ESCALAR.Se puede formar el producto de un número real y una matriz. El resultado denotado de A, es la matriz cuyos elementos de A multiplicados por .











Ejemplo: Multiplicar la matriz A α= 2

A=


MULTIPLICACION DE MATRICES

Al producto escalar de a y b, esta dado por a*b, necesitamos que a y b tengan el mismo número de componentes.

(a1, a2, ….., an) * = a1 b1 + a2 b2 +……….. + an bn


Ejemplo:

1. Sean a= y b =
Calcule a*b

Solución a*b = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(4)= 2 +4 + 12 = 19

2. Sean a= (2, -3, 4, -6) y b = Calcule a*b
Solución a*b = (2)(1) + (-3)(2) +(4)(0) + (-6)(3)= 2 – 6 + 0 – 18 = -22




3. Suponga que un fabricante produce 4 artículos. La demanda para los artículos está dada por el vector de demanda d= (30, 20, 40, 10). Losprecios unitarios para los artículos dados por el vector de precios p= ($20, $15, $18, $40). Si satisface su demanda, ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?.

Solución: La demanda del primer artículo es de 30 y el fabricante recibe $20 por cada unidad vendida del primer artículo. Por lo tanto recibe, (30)(20) = $600 por la venta del primer artículo. Continuando con este razonamiento vemos...