Matrices

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)

Determinantes
1

1. Sabiendo que a
x
a

a) x
3

1 1
b c = 5 , calcula el valor de los siguientes determinantes:
y z

b c

5
5
5
y z , b) a + 2 b + 2 c + 2
3 3
x
y
z
3
3
3(Junio 2002)

Solución:
Utilicemos las propiedades de los determinantes para transforma el determinante en
otro que dependa del determinante conocido:

 3 3 3 3 3 3


a) x y z = − x y z = −  − a b c  = a b c . En estos dos pasos hemos
 x y z x y z
3 3 3
a b c


permutado la fila 1 por la fila 3 (el determinante cambia de signo), y luego la
fila 2 por la fila 3 (eldeterminante vuelve a cambiar de signo).
a

b c

3 3 3

3

3 3

1

a

b c =3 a

1 1
b c . Aquí se ha utilizado que si multiplicamos por el mismo

x y z
x y z
número todos los elementos de una misma línea (fila o columna) el determinante
queda multiplicado por ese número (obsérvese que todos los elementos de la
primera fila están multiplicados por 3).
a

Por tanto x
3

b c1

1 1

y z =3 a

b c = 3 ⋅ 5 = 15

3 3

y z

x

5
5
5
1
1
1
1
1
1
1
5
b) a + 2 b + 2 c + 2 = 5 ⋅ a + 2 b + 2 c + 2 = a + 2 b + 2 c + 2 (observar
3
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
3
3
3
que la primera fila está multiplicada por 5 y la tercera por 1/3)
1

1

1

1

a +2 b+2 c+2 = a

1 1

1

b c+2

1 1

1 1 1

2 2= a

b c . El primer determinantex
y
z
x y z x y z x y z
se puede poner como suma de otros dos que tienen la primera y tercera filas
iguales (comunes) y en la segunda fila cada uno de los sumandos de la segunda

Determinantes

1

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (CiudadReal)

1

fila del primer determinante. Además, el determinante 2
x

1 1
2 2 es 0 porque la
y z

segunda fila es el doble que la primera (recuerda: si una matriz cuadrada tiene
dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero).
5
5
5
1 1 1
5
5
25
Por tanto: a + 2 b + 2 c + 2 = a b c = ⋅ 5 =
3
3
3
x
y
z
x y z
3
3
3

†

2. Utiliza las propiedades delos determinantes para desarrollar el siguiente:
x 2x + 1 3x + 2
x 2x + 3 3x + 4
x 2x + 5 3x + 6
Enuncia las propiedades que has utilizado.
(Junio 2003)
Solución:

 x 2x 3x x 2x 2 


x 2x + 3 3x + 4 = x 2x 3x + 4 + x 3 3x + 4 =  x 2x 3x + x 2x 4  +
x 2x + 5 3x + 6 x 2x 3x + 6 x 5 3x + 6  x 2x 3x x 2x 6 


x

2x + 1 3x + 2

x 2x 3x + 2

x 1 3x + 2

 x 1 3x x 1 2 

+  x 3 3x + x 3 4  (*)
 x 5 3x x 5 6 


Hasta aquí se ha utilizado la siguiente propiedad (suma de determinantes):
a11

a12 + a '12

a 21 a 22 + a '22

a13

a11

a12

a 23 = a 21 a 22

a13

a11

a '12

a13

a 23 + a 21 a '22

a 23

(esta descomposición es

a 31 a 32 + a '32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a '32 a 33
válida cualesquiera que sean la fila o lacolumna en la que se hallen los sumandos).

Analicemos ahora cada uno de los determinantes que aparecen en (*):
x

2x 3x

x

2x 3x = 0 , porque las columnas son proporcionales.

x

2x 3x

x

2x 2

x

2x 4 = 0 , porque la primera y segunda columnas son proporcionales.

x

2x 6

Determinantes

2

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Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)

x 1 3x
x 3 3x = 0 , porque la primera y tercera columnas son proporcionales.
x 5 3x
x 1 2

1 1 2

x 3 4 = x 1 3 4 = x ⋅ 0 = 0 . En la primera igualdad se ha utilizado que si
x 5 6
1 5 6
multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una misma línea...