Matrices

MATRICES Y VECTORES EN Rn
Matrices
De…nition 1 Sean m; n 2 N: Llamamos matriz con m …las y n columnas o matriz de tamaño m n con entradas reales a cualquier objeto de la forma 8 0 a11 a12 a1j a1n > > > > B a21 a22 a2j a2n > > . B . > . . . . .. < . B . . . . . . . B . . . . . …las B aij : ain > B ai1 ai2 > > . B . > . @ . . . . .. > . . . . . > . . . . > : am1 am2 amj : amn # # # columnas ; n:donde aij 2 R; para i = 1; 2; ; m; j = 1; 2; 1 C C C C C C C A

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Notaciones y terminología 1. Es común simbolizar a las matrices usando letras mayúsculas tales como A; B; C; ; R; S; T; j=1; n También las simbolizamos abreviadamente como (aij )i=1; 2;2; ; ;m o simplemente (aij ) : 2. El conjunto de todas las matrices de tamaño m n con entradas reales se denota por Mm n (R) : Por ejemplo, lamatriz A= 1 3 2 0 2 1

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es una matriz cuadrada de tamaño 3 3 con diagonal principal 2; 4; 2: Algunas matrices especiales 1. Si las entradas de una matriz son todas cero diremos que la matriz es nula, y la simbolizamos por 0. Por ejemplo, 0 0 0 0 son las matrices nulas de tamaño 2 ; 2y2 0 0 0 0 0 0 0 0 3; respectivamente. 1

tiene 2 …las y 3 columnas, por tal decimos A que es una matriz detamaño 2 3; o que A 2 M2 3 (R) : 3. Si una matriz tiene igual número de …las que de columnas, decimos que la matriz es cuadrada.Además, si A = (aij ) es una matriz cuadrada, decimos que las entradas a11 ; a22 ; ; ann forman la diagonal principal o simplemente la diagonal de la matriz. Por ejemplo, la matriz, 0 1 2 3 1 4 0 A B = @ 1=2 1 2

2. Si una matriz cuadrada A = (aij ) tiene todas susentradas nulas, salvo posiblemente, las de la diagonal; decimos que la matriz es diagonal y la simbolizamos por diag (a11 ; a22 ; ; ann ) :Por ejemplo, 0 1 1 0 0 1 0 diag (1; 3) = ; diag ( 1; 1; 0) @ 0 1 0 A 0 3 0 0 0 son matrices diagonales de tamaño 2 2 y 3 3; respectivamente. 3. Si A es una matriz diagonal, cuya diagonal está formada únicamente por 10 s; esto es, aii = 1; para todo i = 1; 2; ; n, y0 1 1 0 0 0 0 B 0 1 0 0 0 C B . . . . C B . . ... . . . . C . . . C B . . B C 1 0 0 C ; A=B 0 0 B . . . .. . . C B . . C . . . . C . . . B . . @ 0 0 0 1 0 A 0 0 0 0 1 n n decimos que A es la matriz identidad de tamaño n o simplemente In : Por ejemplo, 0 1 1 0 @ 0 I2 = ; I3 = 0 1 0 n: Esta matriz se simboliza por Idn 1 0 0 1 0 A 0 1

son las matrices identidad de tamaño 2 2 y 3 3;respectivamente. 4. Si A es una matriz diagonal cuya entrada aii son todas iguales, decimos que A es una matriz escalar. Por ejemplo, 1 0 2 0 0 0 B 0 2 0 0 C B C @ 0 0 2 0 A 0 0 0 2 es una matriz escalar de tamaño 4 Operaciones con matrices 4:

De…nition 2 Sean A = (aij ) ; B = (bij ) dos matrices de tamaño m 1. La suma de A y B como la matriz A + B dada por A + B = (aij + bij )

n y k 2 R: De…nimos:

2.La multiplicación de la matriz A por el escalar k; como la matriz kA dada por kA = (kaij )

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Observaciones 1) La suma de dos matrices A y B se efectúa sumando cada componente de A con la correspondiente componente de B. Nótese que las matrices deben tener el mismo tamaño. 2) La multiplicación de una matriz A por un número real k; es la matriz obtenida al multiplicar cada entrada de lamatriz A con el número real k: 3) La matrices obtenidas en la suma y la multiplicación por escalar tienen el mismo tamaño de las matrices originales. 4) La suma y multiplicación por escalar de matrices están de…nidas con base en la suma y multiplicación de números reales. Ejemplo Dada las matrices 0 1 3 1=3 0 A A =; B = @ 3=2 1=2 2 calacular A + B; Solución 0 4A; 2A + 6B: 1 0 1+3 0 + 1=3 1=2 + 3=2 3+0A=@ 3=4 + ( 1=2) 1 + ( 2) 4 4 4 0 1 1=2 3=4 4 4 4 1 0 0 4 A=@ 2 3 1 3 1 2 1=3 2 3 A 5=4 1

A+B =@ 4A = @ 0

1 0 12 A 4

1 0 1 0 1 2 0 18 2 16 2 6 A+@ 9 0 A = @ 10 6 A 2A + 6B = @ 1 3=2 2 3 12 9=2 10 A continuación presentamos un resultado que resume las propiedades de la suma y la multiplicación por escalar de matrices. Las pruebas de cada una de ella se basan en las correspondientes...