matrices

Definiciones y notaciones[editar]
Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices detamaño  se representa como , donde  es elcampo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.
A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le llama entrada  oentrada -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.
Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz  de tamaño  que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denotacomo , donde  y . Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un  o un  con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz  de tamaño  se representa como  mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como .Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así  es una matriz, mientras que  es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otrasnotaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.
Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e.  o incluso .
Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Unvector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño  mientras queun vector columna es cualquier matriz de tamaño .
A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota  o alternativamente .
Ejemplo[editar]
Dada la matriz 

es una matriz de tamaño . La entrada  es 7.
La matriz 

es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.
Operaciones básicas[editar]
Las operaciones que sepueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones enálgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.
Suma o adición[editar]
Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria  tal que  y donde  en el que la operación de suma en la última expresión es la operaciónbinaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada  es igual a la suma de los elementos  y  lo cual es .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea 

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén enun campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de loscampos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades[editar]
Sean , donde  es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria 
Asociatividad...