Matrices

MATRICES Y DETERMINANTES

Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrados en grandes paréntesis rectangulares. Las matrices por lo regular se denotan con letras mayúsculas como A, B o C.

Algunos ejemplos de matrices:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Los números reales que forman el arreglo se denominan entradas o elementos de la matriz. Los elementos encualquier línea horizontal forman un renglón o fila y aquellos que se encuentran en cualquier línea vertical forman una columna de la matriz.

Tamaño. Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se dice que su tamaño es m [pic] n.

matriz 3 x 4


El primer número nos indica el número de renglones o filas que tiene la matriz.
El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.Ejemplo:
[pic]



Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A.

Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B.

Ejemplos:

[pic] [pic]

En la siguiente matrizindica la posición del número circulado.

[pic]

Definición. Si todos los elementos de la matriz son cero, la llamamos matriz cero y la denotamos por 0.
Ejemplo: [pic]
Definición. Una matriz con el mismo número de renglones que de columnas se lama matriz cuadrada.
Ejemplos: [pic] [pic] [pic]

Definición. Se dice que dos matrices A y B son iguales si:
i ) Son del mismotamaño y
ii) sus elementos correspondientes son iguales.

Ejemplo: Si A y B son iguales, ¿qué valores tienen x, y , a y b?
[pic] y [pic]

SUMA DE MATRICES
Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

Definición de suma:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) m xn.

Ejemplo:
Suma las matrices A + B

[pic] [pic] [pic]



[pic]


[pic]






[pic]


Propiedades:
Ley asociativa [pic]
Ley conmutativa [pic]

Elemento neutro

[pic]

PRODUCTO DE UN ESCALAR
Definición: Si kA = k(ai j) mxn debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.Ejemplo:
Opera 2A

[pic] [pic]

INVERSO ADITIVO (RESTA)
[pic] [pic]

Opera A – B

[pic] El orden es igual que en la suma pero debes
fijarte muy bien en los signos.
EJERCICIOS
En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2A + 3B d) 5A - 4B
1) [pic] [pic]

2) [pic][pic]

3) [pic] [pic]

4) [pic][pic]

5) [pic] [pic]MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas
Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
Matriz A Matriz B



3 x 5 5 x 2




Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de la respuesta.

|MatrizA |Matriz B |¿se puede multiplicar? |Tamaño de respuesta |
|3 x 4 |4 x 5 | | |
|5 x 6 |6 x 2 | | |
|5 x 3 |4 x 6 | ||
|7 x 8 |8 x 2 | | |
|4 x 2 |3 x 4 | | |

Ejemplo:
[pic]

Se opera asi:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Respuesta:
[pic][pic]...