Matrices

APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MARCEL SAINTARD VERA
SEGUNDO SEMESTRE 2011

Para Curso ÁLGEBRA II - USACH

Material N°3

1.3.- Escalonamiento de Matrices:
Podríamos haber incluido este tema dentro de las matrices especiales. Pero, resultará
tan versátil la aplicabilidad tanto de las matrices de formas escalonadas como del proceso para
obtener estas formas matriciales que hemos preferidodestacarlas como tema autónomo por su
relevancia. Además, resulta oportuno y necesario abordar el tema en este momento por cuanto
usaremos del escalonamiento en todo lo que resta de la Unidad e incluso en las siguientes se
convertirá en un frecuente recurso de resolución y análisis.

1.3.1.- Matrices de Forma Escalonada por Filas: Se define una matriz escalonada por filas, de
orden m x n, comoaquella matriz en que:
1º.-

Al bajar de fila en fila se observa que el primer elemento no nulo, o elemento
distinguido, se encuentra en columnas posteriores a las de distinguidos de filas
superiores.

2º.-

Las filas nulas son posteriores a las no nulas.

Definición:
Sea A = (aij)∈Mm×n. Si al elemento apq ≠ 0 tal que apk = 0, ∀ k < q le
llamamos distinguido de la p-ésima fila Fp,diremos que A es de forma
escalonada por filas si y sólo si [∀apq, ars distinguidos de Fp y Fr: si p < r
entonces q < s, y cuando Ft es fila nula ocurre que p < r < t].

Ejemplos: a) Son escalonadas:

0

0
0


0

0

0
b) No son escalonadas: 
0

0

Observación:

3
0
0
0

0
0
0
0
−1
0
0
0

4 −1
0 0
0 0
0 0
4
0
−1
0

0
5
0
0

7 0
5 −12 1
0 0

3 1
 3 − 1 0 0 4 7 

1 − 1 
 y 0 0 0 0 4 3
3 1
 0 0 0 0 0 3

0 0 

0
4
0
0

0
0
0
3

3  − 1 4
 
1  0 0
y
0  0 0
 
1  0 0
 

7
3
2
0

0 0 1

1 −1 4
1 −1 0

0 0 4


Note que, desde un punto de vista práctico, en toda matriz de forma
escalonada por filas ocurre que antes y bajo cada elemento distinguido(primer no nulo en su fila) sólo se encuentran ceros. Pero, ¡ cuidado ! ésta no
es condición suficiente para tener forma escalonada.

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL

MARCEL SAINTARD VERA
SEGUNDO SEMESTRE 2011

Para Curso ÁLGEBRA II - USACH

Material N°3

1.3.2.- Matrices de Forma Escalonada Reducida por Filas: Vamos a llamar matriz de forma
escalonada reducida por filas, a toda matrizescalonada por filas en que:
1º.- Todo elemento distinguido es 1(uno).
2º.- Cada distinguido es único no nulo en su columna. Antes, bajo y sobre cada elemento
distinguido sólo hay ceros.

Ejemplos:

0

0
a) 
0

0


1
0
0
0

0
1
0
0

4
3
0
0

0
0
1
0

0

0
0

1


b) In

1.3.3.- Proceso de Escalonamiento y Operaciones Elementales: Desde unamatriz A= (aij)∈Mm×n
cualquiera, se puede construir una matriz de forma escalonada (reducida o no) por filas,
recurriendo a tres operaciones entre filas, o de filas, que llamaremos operaciones elementales
por filas y que son:
O.E. Nº1: Indica el intercambio entre i-ésima y j-ésima filas de la matriz A. Se anotará Fij.
O.E. Nº2: Indica la amplificación o ponderación de la i-ésima fila de lamatriz A por un
escalar α∈K no nulo. Se anotará αFi, con α ≠ 0.
O.E. Nº3: Indica que a la i-ésima fila de A se le suma la j-ésima fila de A ponderada por un
escalar α∈K. Se le anotará Fi + αFj. Note que sólo la i-ésima fila cambia.
Convendremos en anotar siempre primero a la fila que cambia.

Ejemplo:

7 2 1
− 1 4


1 −1 0 1 
 2
Sea A = 
.Apliquemos operaciones elementales porfilas
4
2 − 2 1 − 1




 3 − 1 0 2 − 3
a la matriz A, para reducirla a forma escalonada.

7 2 1
− F1
− 1 4


1 − 1 0 1  F2 + 2 F1
 2
Respuesta: A = 
4
2 − 2 1 − 1  F3 − 2 F2




 3 − 1 0 2 − 3  F4 + 3 F1

 1 − 4 − 7 − 2 − 1


3
 0 9 13 4
0 0
0
1 − 3


 0 11 21 8
0 



Pasos sugeridos: 1.-

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