matrices

Matrices

DETERMINANTES
Sea  a1x + b1y = m1
 a2x + b2y = m2
 por b2 y  por -b1   por -a2 y  por a1

-a2b1x – b1b2y = -b1m2
a1b2x-a2b1x = b2m1 – b1m2
x(a1b2 – a2b1) = b2m1 – b1m2

x= (b_2 m_1- b_1 m_2)/(a_1 b_(2 )- a_2 b_1 )

Similarmente se tiene para y= (a_1 m_2- a_2 m_1)/(a_1 b_(2 )- a_2 b_1)

El denominador “a1b2 – a2b1” se llama DETERMINANTE del sistema y se denomina con la letra griega Δ , así :
Δ = |■(a_1&b_1@a_2&b_2 )|, se determina [■(a_1&&b_1@&&@a_2&&b_2 )] = a_1 b_(2 )- a_2 b_1
Se llama Determinante de n orden cuando se tiene n elementos, donde cada Determinante debe tener n columnas y n renglones , asi: esta Determinante es de segundo ordenpor tener dos columnas y dos renglones.

x= [■(a_1&b_1@a_2&b_2 )]/[■(a_1&b_1@a_2&b_2 )] ó x= [■(a_1&b_1@a_2&b_2 )]/Δ ; Esta expresión recibe el nombre de matriz

Pero siendo los numeradores de las fracciones que expresan los valores de las incógnitas también diferencias de productos en cruz, resulta que los valores de las variables pueden escribirse así:


x=[■(m_1&&b_1@&&@m_2&&b_2 )]/[■(a_1&&b_1@&&@a_2&&b_2 )] = (m_1 b_(2-) m_2 b_1)/(a_1 b_2- a_2 b_1 ) ó (m_1 b_(2-) m_2 b_1)/Δ

y= [■(a_1&&m_1@&&@a_2&&m_2 )]/[■(a_1&&b_1@&&@a_2&&b_2 )] = (a_1 m_(2-) a_2 m_1)/(a_1 b_2- a_2 b_1 ) ó (a_1 m_(2-) a_2 m_1)/Δ

Simplificacion de un Determinante:
Si se multiplica ó divide los elementos de una linea por una constante, la determinantequeda multiplicada ó dividida por dicha constante

Δ= [■(a_1&b_1@a_2&b_2 )] , multipliquense por una constante los elementos de una columna
Δ= [■(ka_1&b_1@ka_2&b_2 )]= (ka1b2 – ka2b1) = k(a1b2 –a2b1) = kΔ

Si se multiplica ó divide los elementos de una linea por una constante, la determinante queda multiplicada ó dividida por dicha constante

Δ= [■(a_1&b_1@a_2&b_2 )] , multipliquensepor una constante los elementos de un renglón
Δ= [■(a_1&b_1@ka_2&kb_2 )]= (ka1b2 – ka2b1) = k(a1b2 –a2b1) = kΔ

Ejemplo:
Δ = [■(12&9@8&7)] → normal: (12 x 7) – (8 x 9) = 84 – 72 = 12

Simplificado (renglon) : Δ= [■(12&9@8&7)]=3[■(4&3@8&7)] = 3[ (4 x 7) – (8 x 3)] = 3[(28) – (24)]
3[ 28 – 24] =3(4) = 12
Simplificado (columna) : Δ= [■(12&9@8&7)]=4[■(3&9@2&7)] = 4[ (3 x 7) – (2 x 9)] =
4[(21) – (18)] = 4[ 21 – 18] = 4(3) = 12


Ejemplos:
5x + 2y = 8
2x – 3y = 7

Δ= [■(5&2@2&-3)]=(5 x-3)- (2 x 2)= -15-4= -19

x = [■(8&2@7&-3)]/Δ= ((8 x-3)- (7 x 2))/Δ= (-24-14)/Δ= (-38)/(-19) =2
y=[■(5&8@2&7)]/Δ= ((5 x 7)- (2 x 8))/Δ= (35-16)/Δ= 19/(-19)=1


2x + 6y = 18
5x - y = -19

Δ= [■(2&6@5&-1)]=(2 x-1)- (5 x 6)= -2-30= -32

x= [■(18&6@-19&-1)]/Δ= ((18 x-1)- (-19 x 6))/Δ= (-18+114)/Δ= 96/(-32)= -3

y= [■(2&18@5&-19)]/Δ= ((2 x-19)- (5 x 18))/Δ= (-38-90)/Δ= (-128)/(-32)= 4


4x + 3y = -10
2x – 6y = 10

Δ=[■(4&3@2&-6)] = 2 x 3 |■(2&1@1&-2)|=2 x 3 [(2 x-2)- (1 x 1) ]= 2 x3[(-4)- (1) ]
=2 x 3 [-4-1]= 2 x 3 x-5

x= [■(-10&3@10&-6)]/Δ= (10 x 3 [■(-1&1@1&-2)])/Δ= (2 x 3 x 5[(-1 x-2)- (1 x 1) ])/Δ

= (2 x 3 x 5 [(2)- (1)])/Δ= (2 x 3 x 5 [2-1])/Δ= (2 x 3 x 5 x 1)/(2 x 3 x-5)= -1

y= [■(4&-10@2&10)]/Δ= (2 x 10 [■(2&-1@1&1)])/Δ= (2 x 2 x 5[(2 x 1)- (1 x-1) ])/Δ
(2 x 2 x 5[■(2&-1@1&1)] )/(2 x -3 x 5 )=(2 [(2x1)- (1 x-1)])/(-3)=2[(2)-(-1)]/(-3)=(2[2+1])/(-3)=(2(3))/(-3)=-3

Determinante de 3er. orden.

Δ= [■(a_1&b_1&c_1@a_2&b_2&c_2@a_3&b_3&c_3 )]
Es un Determinante de 3er. orden porque consta de tres renglones y tres columnas, donde cada término del desarrollo debe contener un elemento de cada columna y uno de cada renglón ; así se tiene a1b2c3 ó a2c3b1 etc.

REGLA DE SARRUS
Es un...