matrices

Matrices
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.


Elemento de una matriz.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.
Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Dimensión de una matriz.
El número de filas ycolumnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.
De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas)
Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4,
El conjunto de matrices de m filas yn columnas se denota por Amxn o (aij).
Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij.

Matrices iguales.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Con las matrices también podemos operar, en ella se pueden aplicar la suma, resta y multiplicación.Siguiendo un procedimiento adecuado podemos realizar estas operaciones.
Comencemos nuestro estudio con la suma de matrices.
Suma de matrices.
Para sumar matrices, deben tener el mismo orden, es decir, igual número de filas y de columnas y para calcular la matriz suma de las matrices A y B, se forma una matriz cuyos elementos correspondientes son idénticos a la suma de los elementos de las matrices A yB.
Si tenemos las matrices A y B se cumple la suma para ellos si tienen el mismo orden, es decir, si tienen la misma cantidad de filas que columnas:

Multiplicación de matrices.
Para multiplicar dos matrices ( A · B ), es necesario que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B y la matriz producto C tiene el número de filas de A y el número de columnas de B,es decir:

Para multiplicar dos matrices A y B se procede de la forma siguiente:






Propiedades de las operaciones de las matrices.
1. Propiedades de la suma de Matrices:
Al sumar dos matrices lo que se hace es sumar números que pueden ser reales o complejos, dicha suma posee las mismas propiedades que la de los números que la forman:
a. Es asociativa.
b. Es conmutativa.
c. Elelemento neutro es la matriz nula.
d. Toda matriz A tiene su matriz opuesta que se llama –A.
Comprobemos la propiedad conmutativa:

2. Propiedades de la multiplicación de Matrices:
La multiplicación de matrices cumple las siguientes propiedades:
a. Asociativa.
b. El elemento neutro.
c. Distributiva.
Commprobemos la propiedad elemento neutro
El elemento neutro de la multiplicación dematrices es la matriz unidad ya que se demuestra en la práctica que A • M = A si A es una matriz cualquiera y M es la matriz unidad.
En efecto.
Sean las matrices A y M
Tipos de matrices:
Matriz fila.
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna.
La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular.
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que decolumnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta.
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz nula.
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada.
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que decolumnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas.
Matriz triangular superior.
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior.
En una matriz triangular...