Matrices

1. Definición de matrices
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (aij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y el segundo  j  la columna.
Esta es una matriz de  m  filas  y  n  columnas, es decir,de dimensión  m x n.  Esta  matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas es igual, osea (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden  n.

Ejemplos:


2. Tipos de matrices
Existen diversos tipos y clasificaciones de matrices:
a) Matriz cuadrada
Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que decolumnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores A ∈ M3x3 y B ∈ M2x2 (ℝ)



b) Matriz Rectangular
Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas. Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.
Ejemplos:

c) Matriz Vertical
Es aquella que tiene más filas que columnas.
Ejemplos:

d) Matriz ColumnaCaso especial de matriz vertical que posee una sola columna.
Ejemplos:

e) Matriz Horizontal
Es aquella que tiene más columnas que filas.
Ejemplos:

f) Matriz Fila
Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.
Ejemplos:



g) Matriz Diagonal
Se llama diagonal principal de una matriz A, a la diagonal formada por los elementos aii. Matriz diagonal, matriz cuadrada dondesus elementos aij = 0 si i ≠ j
Puede ser una matriz con valores A ∈ M3x3 (ℝ)

También puede ser de otro tamaño, e incluso con variables C ∈ M4x4 (ℝ)

h) Matriz Escalonada
Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente. Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

i) MatrizTriangular superior
Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos:

j) Matriz Triangular inferior
Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos:



k) Matriz Identidad
Se llama matriz identidad de orden n y senota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
I3 ∈ M3x3 e I2 ∈ M2x2 tenemos:

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada
l) Matriz Nula o Matriz Cero
Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Porlo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.
m) Matriz Opuesta
Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.
Ejemplos:

n) Matriz Traspuesta
Matriz traspuesta (AT).Se llama matriz traspuesta de una matriz A, a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.
Ejemplos:


o) Matriz Simétrica
Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.
Ejemplos:


p) Matriz Antisimétrica
Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de sutraspuesta, siendo los elementos de la diagonal principal ceros.  Es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A.
Ejemplos:


La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es –A, la de B es –B, y que la antisimetría es respecto a...