matrices

 UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA

I.-ASPECTO INFORMARTIVO
1.1. Título.
Matriz Inversa Generalizada.
1.2. Autores.
Fernández Llontop Luz María.
Núñez Quispe José Adrián.
Rivas Delgado Vanessa Maribel.
Asesor: Andrés Figueroa.

1.3. Área de Investigación.
Matemática.

1.3.1. Sub-Área: Teórica1.3.2. Línea: Álgebra

1.4. Ejecución:
Ambientes de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas-UNPRG
1.5. Duración Estimada:
1.5.1. Elaboración del Proyecto:
Inicio : 03-03-2014
Termino: 20-06-2014

1.5.2. Elaboración del Informe Final.
Inicio: 01-07-2014
Termino: 30-10-2014II. ASPECTOS DE LA INVESTIGACIÓN
2.1. Planteamiento del Problema Científico
Si bien es cierto sabemos que para hallar la inversa de una matriz se requiere que dicha matriz sea cuadrada (de orden n); mediante este proyecto que estamos realizando vamos a ver una forma que se basa en lo que se llama “Matriz Inversa Generalizada”. Este concepto permite que toda matriz, seacuadrada o no, tenga por lo menos una inversa generalizada.
2.2. Revisión Bibliográfica
a) Antecedentes.
Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales.
Fueintroducido por primera vez por E.H. Moore alrededor del año 1920, permaneciendo casi desconocido hasta la publicación de un artículo de R. Penrose en 1955, titulado “A generalized inversa for matrices”, artículo que lograría atraer la atención sobre el tema. Parece ser que Penrose no estaba enterado del trabajo de Moore cuando publicó su artículo; R. Rado, en 1956, mostraría que la definición deinversa generalizada de una matriz, dada por Penrose, es equivalente a la dada por Moore.
El concepto de inversa generalizada de una matriz es una generalización del concepto de inversa usual para matrices cuadradas.
Hoy día existe una extensa literatura en torno a generalizaciones del concepto de inversa usual; la inversa generalizada, también llamada seudoinversa o inversa de Moore-Penrose,es apenas una entre una variedad de “Inversas Generalizadas” que hay asociadas a una matriz.
En este texto el concepto de inversa generalizada de una matriz A (la cual consi­deraremos siempre real) será introducido asociado con el problema de hallar la Solución según mínimos cuadrados, de longitud mínima para sistemas Ax = b.
También es conocido el hecho de que existen distintos tipos deMatrices Inversas Generalizadas, entre las que destaca el concepto de Inversa de Moore­ Penrose, que- entre otras- goza de la propiedad de su unicidad.
El uso de Matrices Inversas Generalizadas aparece constantemente en aplicaciones estadísticas.




b) Base Teórica.
Cada solución de una ecuación de la forma Ax=b, donde esta dada por , donde (inversa de la matriz). Para hallar dichainversa tenemos los métodos más conocidos con , si la matriz ampliada , luego de aplicar un número finito de transformaciones elementales (de filas solamente, se expresa como una matriz ampliada de la forma , entonces B es la matriz inversa de A es decir, llamada inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordán. Como hemos visto, la solución de la inversa de una matriz cuadrada es muy fácil deencontrarlo en la siguiente sección daremos las notaciones básicas que nos permitan definir la inversa de una matriz de cualquier orden de una transformación lineal, es decir .

Recordaremos algunas definiciones y propiedades importantes:

Definición 1. Una matriz cuadrada de orden n se denomina hermítica si y solo si

Definición 2. Una matriz cuadrada de orden n se denomina ortogonal,...