Matrices

MATRICES Y VECTORES EN Rn
Matrices
De…nition 1 Sean m; n 2 N: Llamamos matriz con m …las y n columnas o matriz de
tamaño m n con entradas reales a cualquier objeto de la forma
8
0
a11 a12
a1 j
a1 n
>
>
>
>
B a21 a22
a2 j
a2 n
>
>.B .
>
.
.
.
.
..

B ai1 ai2
>
>.B .
>.@ .
.
.
.
..
>.
.
.
.
.
>
.
.
.
.
>
:
am1 am2
amj :
amn
#

donde aij 2 R; para i= 1; 2;

#

#
columnas

; m; j = 1; 2;

1
C
C
C
C
C
C
C
A

#

; n:

Notaciones y terminología
1. Es común simbolizar a las matrices usando letras mayúsculas tales como A; B; C;
; R; S; T;
j =1
n
También las simbolizamos abreviadamente como (aij )i=1; ;2;2; ; ;m o simplemente (aij ) :
2. El conjunto de todas las matrices de tamaño m n con entradas reales se denota porMm n (R) : Por ejemplo, la matriz
A=

1
3

20
21

tiene 2 …las y 3 columnas, por tal decimos A que es una matriz de tamaño 2 3; o que
A 2 M2 3 (R) :
3. Si una matriz tiene igual número de …las que de columnas, decimos que la matriz es cuadrada.Además, si A = (aij ) es una matriz cuadrada, decimos que las entradas
a11 ; a22 ;
; ann forman la diagonal principal o simplemente la diagonalde la matriz.
Por ejemplo, la matriz,
0
1
231
4 0A
B = @ 1=2
12

es una matriz cuadrada de tamaño 3 3 con diagonal principal 2;
4; 2:
Algunas matrices especiales
1. Si las entradas de una matriz son todas cero diremos que la matriz es nula, y la
simbolizamos por 0. Por ejemplo,
00
00
son las matrices nulas de tamaño 2

0000
0000

;
2y2

3; respectivamente.
1

.

2.Si una matriz cuadrada A = (aij ) tiene todas sus entradas nulas, salvo posiblemente,
las de la diagonal; decimos que la matriz es diagonal y la simbolizamos por diag (a11 ; a22 ;
; ann ) :Por
ejemplo,
0
1
100
10
diag (1; 3) =
; diag ( 1; 1; 0) @ 0 1 0 A
03
0 00
son matrices diagonales de tamaño 2 2 y 3 3; respectivamente.
3. Si A es una matriz diagonal, cuya diagonal está formadaúnicamente por 10 s; esto es,
aii = 1; para todo i = 1; 2;
; n, y
0
1
10
0
00
B0 1
0
0 0C
B. .
. .C
B . . ... .
.
. .C
.
. .C
B. .
B
C
1
0 0C
;
A=B 0 0
B. .
. .. . . C
B. .
C
.
. . .C
.
..
B. .
@0 0
0
1 0A
00
0
0 1 nn
decimos que A es la matriz identidad de tamaño n
o simplemente In : Por ejemplo,
0
1
10
@0
I2 =
; I3 =
01
0

n: Esta matriz se simbolizapor Idn
1
00
1 0A
01

son las matrices identidad de tamaño 2 2 y 3 3; respectivamente.
4. Si A es una matriz diagonal cuya entrada aii son todas iguales, decimos que A es una
matriz escalar.
Por ejemplo,
1
0
2000
B0 2 0 0C
B
C
@0 0 2 0A
0002
es una matriz escalar de tamaño 4
Operaciones con matrices

4:

De…nition 2 Sean A = (aij ) ; B = (bij ) dos matrices de tamaño m
1.La suma de A y B como la matriz A + B dada por

n y k 2 R: De…nimos:

A + B = (aij + bij )
2. La multiplicación de la matriz A por el escalar k; como la matriz kA dada por
kA = (kaij )

2

Observaciones
1) La suma de dos matrices A y B se efectúa sumando cada componente de A con la
correspondiente componente de B . Nótese
que las matrices deben tener el mismo tamaño.
2) Lamultiplicación de una matriz A por un número real k; es la matriz obtenida al
multiplicar cada entrada de la matriz A con
el número real k:
3) La matrices obtenidas en la suma y la multiplicación por escalar tienen el mismo
tamaño de las matrices originales.
4) La suma y multiplicación por escalar de matrices están de…nidas con base en la suma
y multiplicación de números reales.
Ejemplo
Dada lasmatrices
0
1
3
1=3
0A
A =;
B = @ 3=2
1=2
2
calacular A + B;
Solución
0

10
1+3
0 + 1=3
1=2 + 3=2
3+0 A=@
3=4 + ( 1=2) 1 + ( 2)

A+B =@
0

4A = @

4A; 2A + 6B:

4
4
4

1
1=2
3=4

4
4
4

10
0
4
A=@ 2
3
1
3

1
2
1=3
2
3A
5=4
1

1
0
12 A
4

0

10
10
1
20
18
2
16
2
6 A+@ 9
0 A = @ 10
6A
2A + 6B = @ 1
3=2 2
3
12
9=2
10
A...