matrices

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Tema 2. MATRICES
Definición de matriz
Una matriz de dimensión n × m es un conjunto de números dispuestos en n filas y m
columnas. Así:
 a11 a12 ... a1m 


 a 21 a 22 ... a 2 m 
A=
:
:
:
: 


a

 n1 a n 2 ... a nm 
La matriz anterior también se puede denotar por A = aij n×m

( )

El elemento aij es el que ocupa la fila i y la columna j.
 1 0

Ejemplo: La matriz A =  − 3 6  tiene dimensión 3 × 2. El elemento a21 = −3.
 2 5



• Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden los elementos
correspondientes.
1 0 
a b
 y B = 
 sean iguales es necesario que a
Ejemplo: Para que las matrices A = 
 2 − 5
c d 
= 1, b = 0, c = 2 y d = −5.
• Matriz traspuesta
La matriztraspuesta de una matriz A es la que se obtiene al cambiar las filas por las
columnas. Se denota por At. Así, si A = aij n×m , su traspuesta es At = a ji m×n

( )

( )

 1 0


1 − 3 2
 .
Ejemplo: Si A =  − 3 6  , su traspuesta es At = 
0 6 5
 2 5



• Algunos tipos de matrices
Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama cuadrada; si noes
así, la matriz es rectangular.
− En las matrices cuadradas se habla de diagonal principal, la que va de izquierda a derecha,
y de diagonal secundaria, que va de derecha a izquierda.
La suma de los elementos de la diagonal principal se llama traza.
1
2 0


A = 2 − 3 6 
Ejemplo:
 2 7 − 1


Diagonal secundaria

Diagonal principal

Traza de A = 2 − 3 − 1 = −2.

JoséMaría Martínez Mediano

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− Entre las matrices rectangulares se puede hablar de matriz fila, la que tiene una sola fila, y
de matriz columna, la que tiene una sola columna.
 2 
 
Ejemplos: Matriz fila: F = (2 − 3 4 ) .
Matriz columna: C =  − 3 
 4 
 
Observa que las matrices anteriores son traspuestas una de otra.

− Entre las matrices cuadradas puede hablarse de:
Matrizsimétrica: Una matriz A es simétrica cuando A = At.
Matriz antisimétrica: Una matriz A es antisimétrica cuando A = –At.

1
3 − 1
2 0
 0




2
Ejemplos: Simétrica: A =  0 − 3 7  ; Antisimétrica: A =  − 3 0
 1 7 − 1
 1 −2 0 




Matriz triangular: Todos los elementos situados por encima (o por debajo) de su diagonal
principal son ceros.

Ejemplos:
1 0 1 2 0 0




Triangular superior: T =  0 − 3 6  . → Triangular inferior: T =  2 5 0 
 0 0 3
 2 7 0




Matriz diagonal: Tiene nulos todos los elementos situados fuera de su diagonal principal.
3 0 0 


Ejemplo: D =  0 4 0 
0 0 − 2


Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de su diagonal principal
 3 0 0


iguales y nonulos. Ejemplo: E =  0 3 0  .
 0 0 3


1 0 0


Matriz unidad. La matriz unidad de orden 3 × 3 es I =  0 1 0  .
0 0 1


Matriz nula. Es la que todos sus elementos son cero. La matriz nula de orden 2 × 3 es
0 0 0
 .
O = 
0 0 0

José María Martínez Mediano

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Operaciones con matrices: suma y producto por números
• Suma: Si A = (aij )n×m y B = (bij )n×m ⇒ A +B = (aij + bij )n×m

NOTA: Sólo pueden sumarse matrices de la misma dimensión.
 2 3  5 − 2  2 + 5 3 − 2  7 1 
 + 
 = 
 = 

Ejemplo: 
 −1 7  4 − 9  − 1 + 4 7 − 9  3 − 2
Propiedades. La suma de matrices cumple las propiedades usuales. Esto es:
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa:
A+B=B+A
Matriz nula: O:
A+O=O+A=A
Matriz opuesta: –A: A +(–A) = O

• Multiplicación de una matriz por un número:
Si A = aij n×m y k es un número real ⇒ k · A = kaij

( )

( )n×m

 2 3  6 9 
 = 

Ejemplo: 3·
 − 1 7   − 3 21
Propiedades. El producto de una matriz por un número cumple las propiedades usuales. Esto
es:
k · (A + B ) = k · A + k · B;
(k + h) · A = h · A + h · A
(k · h) · A = k · (h · A)
1·A=A
 2 3  ...