Matrices

Matrices
Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Ejemplo.
Estos son ejemplos de matrices.
1230-14 [2 1 0 - 3] -2πe3120000 13 [4]
Elementos.
Como se puede ver en los ejemplos de arriba. Las matrices varían en tamaño. El tamaño de una matriz sedescribe especificando el número de reglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. La primera matriz del ejemplo tiene tres reglones y 2 columnas, por tanto, su tamaño es de 3 por 2 (que se escribe 3 x 2). El primer número siempre indica el número de reglones, y el segundo indica el número de columnas. Por consiguiente, las matrices restantes del ejemplo tienentamaños 1 x 4, 3 x 3, 2 x 1 y 1 x 1, respectivamente. Se usaran letras mayúsculas para denotar matrices y letras minúsculas para denotar números; por tanto, se podrá escribir
A= abciefIgualdad de matrices.
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir.
A, B ∈Mm,n A=B ↔ aij= bij; ∀i=1,2,…,m ∀j=1,2,…,nEjemplo. 3278 ≠ 3279Matriz fila. Es una matriz de dimensión (1 x n). Ejemplo: [0 3 -4]∈  M1,3 
Matriz columna. Es una matriz de dimensión (m x 1). Ejemplo: 2-6∈  M2,1Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual no de filas que de columnas. En una matriz cuadrada, los elementos aij , con i=j forman la diagonal principal  mientras que se llama diagonalsecundaria a los elementos aij , que verifican que  i + j = n + 1. Ejemplo a11a12a13a21a22a23a31a32a33Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal. Ejemplo
800040002 Matriz triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a un  mismo lado de la diagonal principal. Una matriz triangular puede ser de dos tipos:
Triangularsuperior: Si los elementos nulos están debajo de la diagonal principal. Ejemplo.
3-5640-78800-190005
Triangular inferior: Si los elementos nulos están encima de la diagonal principal. Ejemplo.
70005-2003-1208249Matriz escalar. Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo.
900090009Matriz identidad. Es una matriz diagonal en la que los elementosde la diagonal principal son iguales a 1. Ejemplo.
100010001Traza de una matriz. Se defina la traza de una matriz al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, Ejemplo. A=152012310 Tr(A) = 1+1+0=2
Matriz traspuesta. De una matriz A es la matriz que se representa como At que resulta al convertir ordenadamente las filas de A en columnas y las columnas en filas.Ejemplo.
538160586310Matriz simétrica. Es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, A = At. Ejemplo.
10-3042-321Matriz anti simétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = -At. Como es natural, los elementos de la diagonal deben ser todos nulos. Ejemplo.
0-329⋮017-2-104-9-7-40Operación con Matrices
Suma de matrices. Sean A, B∈Mm,n dosmatrices dimensión m x n. La suma de A con B es otra matriz C también de dimensión m x n definida por: C= (cij) cij=aij+bijA=-1320510 B= 0-531-611 C= A + B = -1+03+(-5)2+30+15+(-6)10+11=
-1-251-121.
Resta de matrices. Sean A, B ∈Mm,n dos matrices de la misma dimensión. Se defina la matriz A – B como la suma de A con la opuesta de B. Es decir, A-B= A+ (-B).
Producto de un escalar por unamatriz. Sea A una matriz cualquiera y c un escalar cualquiera el producto entre la matriz A y el escalar c da como resultado una nueva matriz llamada cA, la cual es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por el escalar c. Un caso particular es el del producto entre el escalar,-1, y una matriz cualquiera A, (−1)A, el cual da como resultado una matriz representada...