matrices

Ejercicios de Matrices
1. Efectúe los siguientes productos matriciales:
 2 4
3 3 
 ⋅ 

 − 1 8  2 x 2  2 − 1 2 x 2

Solución: 

 2 3
 1 4 2
 ⋅ 

 1 0  2 x2  − 4 5 3  2 x3

Solución: 

a) 

b) 

2 − 1
 1


c)  0 − 1 3 
− 2 1
0  3 x 3


 1 0 1 0 


⋅  −1 0 1 2 
 − 2 1 3 − 2

3x4

1
 
d)  3  ⋅ (2 3− 4 1 6 )1x 5
 2
  3 x1
1 2 


 3 − 1
e) (1 2 1 1)1x 4 ⋅ 
2 0


1 0 

4x2
 −1 
 
 − 2
f)   ⋅ (1 0 1)1x 3
0
 
 1 
  4 x1

14 2 

13 − 11 2 x 2
 − 10 23 13 

4 2  2 x 3
 1

6 
 1 −1 0


Solución:  − 5 3
8 − 8
 − 3 0 −1 2 

3x4
2 3 − 4 1 6 


Solución:  6 9 − 12 3 18 
 4 6 − 8 2 12 

 3 x5Solución: (10

 −1

− 2
Solución: 
0

 1


0 )1x 2

0 −1

0 − 2
0 0 

0 1  4 x 3

1
 2


 1 0 − 1

2. Dadas A =  − 2 4 
B = 
Compruebe que no se cumple la
7
−
5
2

 2 x3
 0 − 1

3 x 2
propiedad conmutativa, es decir que A ⋅ B ≠ B ⋅ A
−5
0 
 9


2 
2

Solución: A ⋅ B =  26 − 20 10  ≠ B ⋅ A = 
24 − 15  2 x 2
− 7

5
− 2  3 x3


1

 2 1
;
 4 3

3. Dadas las siguientes matrices: A = 

0 1 
 2 1
; c = 

B = 
 2 − 2
 3 4

Calcule:
a) A ⋅ B ⋅ C

Solución:

 2 1  0 1   2 0 
A⋅ B = 
⋅
=

 4 3   2 −2   6 −2 
2 0  2 1 4 2 
A⋅ B ⋅C = 
⋅
=

 6 −6   3 4   6 −2 
b) At ⋅ B t ⋅ C t
Solución:
 2 4   0 2  4 −4 
At ⋅ B t = 
⋅
=

 1 3   1 −2   3 −4 
 4 −4   2 3   4 −4 
At ⋅ B t ⋅ C t = 
⋅
=

 3 −6   1 4   2 −7 
c) 2 A + B + 3C
Solución:
 2 1  0 1 
 2 1  10 6 
 + 
 + 3 
 = 

2 
 4 3  2 − 2 
 3 4  19 16 
d) C t ⋅ B t ⋅ At
Solución:
 2 3  0 2   2 4  3 − 2  2 4  4 6 

 ⋅ 
 ⋅ 
 = 
 ⋅
 = 

 1 4  1 − 2  1 3  4 − 6  1 3  2 − 2
e) 2C t ⋅ 4 At ⋅ 3B t

Solución:
 2 3
 2 4   0 2   4 6   8 16   0 6 
 + 4 
 ⋅ 3 
 = 
 ⋅ 
 ⋅ 
 =
2 ⋅ 
 1 4
 1 3   1 − 2   2 8   4 12   3 − 6 
 408 −480 
=

 384 −480 

2

1 0 1 
 2 1 0




4. Dadas las siguientes matrices: A = 1 − 1 2 ; B =  1 − 12 
1 0 1 
 0 1 1




Compruebe las propiedades de la transposición matricial:
a) ( A + B ) t = At + B t

Solución:
 3 1 1


A + B =  2 − 2 4 ;
 1 1 2



3 2 1


( A + B ) =  1 − 2 1  = At + B t
1 4 2


t

b) ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ At

Solución:
 2 2 1


A ⋅ B =  1 4 0 ;
 2 2 1



 2 1 2


(A ⋅ B) =  2 4 2
 1 01


t

 2 1 0  1 1 1  2 1 2


 

B ⋅ A =  1 − 1 1  0 − 1 0 =  2 4 2
 0 2 1  1 2 1  1 0 1


 

t

5.

t

 2 1
 , calcule A 2 − 2 A − I , siendo I la matriz identidad.
 1 3

Siendo A = 

Solución:

 2 1  2 1  5 5 
 ⋅ 
 = 

A ⋅ A = 
 1 3   1 3   5 10 
 5 5   2 1   1 0   0 3

 − 2
 −  = 

 5 10   1 3   0 1   3 3 
6. Calcule el determinante de las siguientes matrices:

 2 1 0


a) A =  1 − 1 2 
 3 2 1


 2 − 1

6 

b) B = 
3

Solución: A = −5

Solución: B = 15

3

2 0 0 


c) C =  0 1 0 
 0 0 − 3



Solución: C = −6

 −1 3 4 


d) D =  0 2 5 
 0 0 − 2



Solución: D = 4

 1
 −1
e) E = 
0

− 2


Solución: E = 6

2 0 1

0 1 2
0 1 3

1 0 1 

0
1
2 1


0 − 1
1 0
f) F = 
3 1 −1 0 


1 −1 0
2 


Solución: F = 6

 2 3 0


g) G =  1 − 2 4 
 5 3 2



Solución: G = 22

2

1
h) H = 
0

0


Solución: H = −6

3

4
i) I =  0

2
2


0

0 1 − 1
2 −2 0 ...