matrices

Unidad 8. Matrices
• CARACTERÍSTICAS GENERALES.
• ÁLGEBRA DE MATRICES:
• SUMA DE MATRICES.
• PRODUCTO R n
• PRODUCTO DE MATRICES.
• TIPOS DE MATRICES:
• MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n
• MATRIZ INVERSA DEL PRODUCTO.
• MATRIZ DIAGONAL.
• MATRIZ TRIANGULAR.
• MATRIZ SIMÉTRICA.
• MATRIZ ANTI−SIMÉTRICA.
• CÁLCULO DE RANGOS.
• CARACTERÍSTICAS GENERALES:
Definición: una matriz es un conjuntoordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas,
intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es,
por definición, el siguiente esquema:
, donde cada elemento : i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y
tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intérvalos,
Así, cuando unamatriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo . Por tanto, se designa
por al conjunto de las matrices de números reales.
CONSTRUCCIÓN DE UNA MATRIZ:
El concepto de matriz está estrechamente relacionado con los sistemas de ecuaciones; es por esto que enuncio
esta unidad justo después de haber estudiado los sistemas de ecuaciones. Para explicar este hecho nos
basamos enel siguiente ejemplo, ya que resulta más sencillo un ejemplo que la teoría:
En una papelería, un cliente compra cuatro bolígrafos y tres rotuladores por un total de 293 pesetas. Otro se
lleva dos bolígrafos y cinco rotuladores por 339 pesetas. ¿Cuánto vale cada artículo?
Se trata de un problema muy típico, que puede resolverse mediante el planteamiento y la resolución de un
sistema deecuaciones de dos incógnitas y dos ecuaciones:
Las incógnitas x e y juegan un papel pasivo, pues las operaciones con ecuaciones consisten en operar con los
coeficientes de estas incógnitas y con el término independiente. Así, una forma de esquematizar este proceso
consiste en escribir entre paréntesis los números que intervienen en las operaciones de la siguiente forma;
prescindiendo de incógnitas:Así se construye una matriz matemática. En este caso, la matriz está compuesta por dos filas horizontales y
tres columnas verticales.
Si ahora multiplicamos la segunda ecuación por dos (método de reducción para despeje de incógnita), y las
restamos; obtenemos:

1

Para acabar el problema, volvemos a escribir el sistema y despejamos la incógnita:
Así hemos obtenido que cada bolígrafocuesta 32 pesetas y cada rotulado, 55.
• ÁLGEBRA DE MATRICES:
Es importante destacar que el conjunto de las matrices que son del tipo forman unas estructuras determinadas
con las operaciones de la suma y del producto.
• SUMA DE MATRICES:
Sean dos matrices del tipo A y B:
Por definición, la suma de A y B es la matriz que se obtiene sumando cada elemento de A con su
correspondiente elemento de B,así:
El conjunto de las matrices de tipo con la suma tiene estructura de cuerpo conmutativo. Mi apoyo de la
afirmación anterior la saco de las propiedades más importantes de la suma de matrices de tipo :
• Propiedad conmutativa: para dos o más matrices cualesquiera A y B, siempre se cumple que
A+B=B+A.
• Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C).
• Elemento neutro: existe elemento neutro, unamatriz 0 tal que para todas la matriz A se verifica lo
siguiente: A+0=0+A=A. La matriz 0 posee todos sus elementos igualados a cero y se denomina
matriz nula de tipo .
• Elemento simétrico: existe elemento simétrico para toda la matriz A, que es . Además se cumple que .
La matriz −A de A es aquélla que posee los mismos elementos pero cambiados de signo, todos ellos.
• PRODUCTO DE UN Nº REAL PORUNA MATRIZ:
Si consideramos r un nº real y A una matriz de tipo , se verifica que el producto de r por A es la matriz de tipo
que se obtiene al multiplicar r por cada uno de los elementos de A:
Destaquemos ahora las propiedades más importantes del producto de un número real por una matriz:
• Asociativa: para dos números reales cualesquiera r, s y una matriz A de tipo cualquiera se verifica...