Matrices

Matrices
Definición: se llama matriz a un conjunto de números reales ordenados de manera rectangular en “m” filas por “n” columnas encerradas entre corchetes o paréntesis


Tipos de Matrices
Matriz cuadrada:
Es aquella en la que numero de filas es igual al números de columnas.
Ejemplos:
A=1 2 3 34 5 6 97 8 5 9 B=2 11 4 C=1 2 31 4 72 5 8 C=1 2 3 4 56 7 8 9 45 8 4 8 91 54 6 51 5 9 6 4
Matriz diagonal:
Es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son igual a cero.
Ejemplos:
A=100020003 B= 400090009 C=2 00 1 D=4 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 7

Matriz triangular:
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonalprincipal son ceros.
Ejemplos:
A=1 2 3 40 2 3 50 0 5 8 0 0 0 5 B=2 10 4 C=1 2 30 4 70 0 8 D=1 2 3 4 50 7 8 9 40 0 4 8 90 0 0 6 50 0 0 0 4

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplos:
A=1 0 0 01 2 0 04 6 5 0 5 5 8 5 B=2 09 4 C=1 0 05 4 09 1 8 D=1 0 0 001 7 0 0 02 8 4 0 06 7 5 6 03 1 1 3 4

Matriz canónica:

Matriz unitaria:
Matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno y todos los otros elementos son iguales a cero. Símbolo: I. También se le llama matriz identidad.
Ejemplo:
A=100010001

Igualdad de matrices:
Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mimo orden y sus elementoscorrespondientes son iguales.
A aijnxm bbijrxs A=B si m=r, n=s , aij =bij
Ejemplos:
A) A=123489872 = B=185456445 B) A=XY+12Z5W = B27415
Suma de matrices:
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.Propiedades de suma de matrices:
1 conmutativa: A+B= B+A
2 asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
3 idendtidad:A+0 = 0+A = A
Ejemplos:
A +B =549733713 + 8 24275765= 5+84+29+47+23+73+57+71+63+5 = 1361391081478
B+A= 8 24275765 + 549733713 = 8+52+44+92+77+35+37+76+15+3 = 1361391081478

A + (B+C)= 1957 + 2754+2468= 1957+ 2+27+45+64+8 = 1957+4111112 = 1+49+115+117+12 = 5201619
(A+B) + C= 1957+ 2754+ 2468= 1+29+75+57+4 + 2468 = 3161011 + 2468 = 5201619

Multiplicación de matrices:
Sea A una matriz de mxn y B una matriz de nxp donde el número de columnas de A es igual al número de fila de B dando como producto de AB la matriz de C mxp
Ejemplos:
Propiedades de la multiplicación de matrices
Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro: A · I = A
Donde I es la matrizidentidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa: A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Ejemplos:

A.B= 123456214 * -212321132 =1-2+23+3(1)11+22+3(3)12+21+3(2)4-2+53+6(1)41+52+6(3)42+51+6(2)2-2+13+4(1)21+12+4(3)22+11+4(2) =7141013322531613
A.B= 123 * 456 = 14+25+3(6) = 32
B.A= 456* 123 = 4(1)4(2)4(3)5(1)5(2)5(3)6(1)6(2)6(3)=48125101561218

A.B= 123456789 * 100010001= 11+20+3(0)10+21+3(0)10+20+3(1)41+50+6(0)40+51+6(0)40+5)0)+6(1)71+80+9(0)70+81+9(0)70+80+9(1)= 123456789

Determinante de una matriz:
Es un numero real asociado a una matriz cuadrada el orden del determinante es el orden de la matriz también se representa por A -|A|
El determinante se obtiene del producto sobre la diagonal principal menos el producto sobre laotra diagonal
Ejemplo:
A7-150
A=7(0) – (-1)(5) = 5
Determinante de A = 5
B-6432
B= (-6)(2) – 4(3) = 0
Determinante de B = 0
C-54-32
C= (-5)(2) – 4(-3) = 2
Determinante de C = 2
D64-32
D= 6(2) – 4(-3) = 24
Determinante de D = 24

Determinaste de segundo y tercer orden:
Llamamos menor complementario del elemento aij y lo designaremos por “αij” al determinante que...