matrices

ALGEBRA

TEMA: MATRICES

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TEMA: MATRICES

CONTENIDOS
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PAG.

1 - MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

02

Ejercicios Propuestos

08

2 - OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS

09

Ejercicios Propuestos

12

3 - TIPOS DE MATRICES

13

Ejercicios Propuestos

17

4 - INVERSA DE UNA MATRIZ

18

Ejercicios Propuestos

22

RESULTADOS DEEJERCICIOS PROPUESTOS

23

1

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2

1 - MATRICES – OPERACIONES CON MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se
denominan elementos de la matriz. A continuación se presentan ejemplos de
matrices:
 1 2 3


A =  0 − 1 3
 1 5 3



1
 
B =  − 1
0
 

C = (1 3 0 9)

1 2 5 3 

D = 1 0 5 1 

El tamaño de una matriz se describe en función del número de filas y de
columnas que contiene. Por ejemplo la matriz A tiene tres filas y tres columnas,
por lo tanto es una matriz 3 x 3. Para los casos de las matrices B, C y D sus
tamaños son respectivamente 3 x 1; 1 x 4; 2 x 4.
A los elementos de una matriz se los identifica con una letra minúscula seguida
por dos subíndicesque indican la posición fila y la posición columna del mismo.
Por ejemplo el elemento correspondiente a la fila dos y columna tres de la
matriz A es a23 y su valor es igual a 3.
a23=3
Los restantes elementos de la matriz A son los siguientes:
a11=1 (Elemento correspondiente a fila 1 y columna 1)
a12=2
a13=3
a21=0
a22=-1
a31=1
a32=5
a33=3
Una matriz A con m filas y n columnas sesimboliza de la siguiente manera:
 a11 a12 ...

 a21 a22 ...
.
.
A= .

.
.
 .
a
 m1 am 2 ...

a1n 

a 2n 
. .

. 

AMN 

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OPERACIONES CON MATRICES
Primeramente se definirán matrices iguales, que son aquellas que tienen el
mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo las
matrices A y B son iguales:
 1− 1

A = 
0 2 

 1 − 1

B = 
0 2 

ADICION DE MATRICES
Para sumar dos matrices las mismas deben ser del mismo tamaño, es decir,
igual cantidad de filas que de columnas. La suma de dos matrices A y B se
realiza sumando los elementos de A con sus correspondientes de B.
EJEMPLO Nº 1.1: Sumar las matrices C y D siguientes:
 1 − 1

C = 
0 2 

 3 5

D =  −1 2

Como ambas matrices son del mismo tamaño se pueden sumar. Los elementos
de la matriz suma F se obtienen de la suma de los respectivos elementos de la
matrices C y D:
fij= cij + dij
Entonces el elemento f11 se obtiene de sumar el elemento c11 con el d11:
f11 = 1 + 3 = 4
Análogamente se calculan los restantes elementos de la matriz f:
f12 = (-1) + 5 = 4
f21 = 0+ (-1) = -1
f22 =2+2 = 4
Por lo tanto la matriz F = C + D es
 4 4

F = 
 −1 4
PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES
1 – La adición de matrices es conmutativa: A + B = B + A

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2 – La adición de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3 – La adición de matrices tiene elemento neutro aditivo. A + N = A
N es la matriz nula, o sea, aquella matriz en quetodos sus elementos son
iguales a cero.
4 – La adición de matrices tiene inverso aditivo A + (-A ) = N
SUSTRACCION DE MATRICES
La sustracción de matrices se realiza en forma similar a la adición, por lo tanto
las matrices deben ser de igual tamaño. Si a la matriz A le restamos la matriz
B, los elementos de la matriz resultante C se calculan de la siguiente manera:
cij= aij - bij
EJEMPLO 1.2:Dadas la matrices A y B, realizar la operación A – B.
 1 2

A = 
 −1 5

 3 0

B = 
 − 2 4

c11= a11-b11= 1 – 3 = -2
c12= a12-b12= 2 – 0 = 2
c21= a21-b21= (-1) – (-2) = -1+2 = 1
c22= a22-b22= 5 – 4 = 1
Por lo tanto la matriz resultante C es:

 − 2 2

C = 
 1 1
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (NUMERO)
El producto de una matriz por un...