matrices

MATRICES Y DETERMINANTES.
INTRODUCCIÓN.
Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1.850 introducidas por el inglés
James Joseph Silverton. El desarrollo de la teoría se debe al matemático y astrónomo irlandés
Hamilton en 1.853 y al inglés Cayley. Este último introdujo la notación matricial para un sistema
lineal de ecuaciones.
Además de su utilidad para estudiar sistemasaparecen de forma natural en geometría,
estadística, economía, etc.
La utilización de las matrices constituye una parte esencial en los lenguajes de
programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores en tablas
organizadas en filas y columnas. La utilización de bases de datos implican el empleo de
operaciones con matrices que estudiaremos en este tema.
DEFINICIÓN DEMATRIZ. TERMINOLOGÍA BÁSICA.
Una MATRIZ es un conjunto de números reales ordenados en filas y columnas
En forma abreviada se escribe a ij mientras que ij a representa un elemento cualquiera de la
matriz (el elemento que está en la fila i y la columna j).
es una matriz que tiene tres filas y cuatro columnas: m = 3 y n = 4.
Llamamos DIMENSIÓN de una matriz al producto indicado del número de filaspor el
número de columnas: m n y podemos escribir de forma abreviada m n ij A a 
En el ejemplo anterior, la dimensión es 3 4.
IGUALDAD DE MATRICES.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan igual posición son iguales.
TIPOS DE MATRICES.
Dependiendo de la forma que tengan las matrices o como son sus elementos, podemos
distinguir algunostipos particulares de matrices:


Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiandoordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n elorden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no estánsituados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singularUna matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
Matrizortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.




OPERACIONES CON MATRICES.
SUMA DE MATRICES.
Dadas dos matrices ( ) ij A a y ( ) ij B b de la misma dimensión, se define la suma
AB como otra matriz ( ) ij C c de igual dimensión que los sumandos y donde ij ij ij c a b
PROPIEDADES:
1. Asociativa: A (B C) (A B) C
2. Conmutativa: A B B A
3....