Matrices

28/09/2013

5. Operaciones elementales sobre las filas
de una matriz. Equivalencia por filas
5.1 Operaciones elementales
Sobre las filas de una matriz, es posible
realizar operaciones elementales, que son:


1

2
4 1
1  P13
3  14 ó 1  P13
ó
 96  L16 L93  L  L
 1
3
88  3
8

Multiplicar la fila i por un escalar no nulo k:
Mi(k)
ó
Li  kLi
6
 1
A
8

3

2 0 11 
4  2

7  1  6

2 0
0 
5

M4 ( 3)

L 4  ( 3)L 4
  3 

2
0 11 
6
 1
5
4  2

A' '  
 8 7  1  6


0 
 9  6 0

 Adicionar a la fila i, la fila j, previamente
multiplicada por el escalar no nulo k:
Aij(k) ó
Li  k·Lj + Li

Permutar la fila i por la fila j:
Pij
ó
Li  Lj
2
4
 6
 6
 1
3  14
1
A
 8A 
6  86

8  63
 6



  8 6 6 9 
 1 3 14 1 
A'  
6
2
4  1


8
6 8 3


  21 

2
 6
 1
5
A
 8  6

2
 3

11 
4  2

6 4 

0 0 
0

A 23 (  21 )

L 2  (  21 )L 3  L 2

2 0 11 
 6
 5
8 1  4


 8  6 6 4 


2 0 0 
 3

1



5.2 Equivalencia por filas
Dadas dos matrices A, B; A esequivalente a B
si es posible obtener B, aplicando un número
finito de operaciones elementales (Ei) sobre las
filas de A.

Permutar la fila i por la fila j:

Pij


Multiplicar la fila i por el escalar k0:

Mi (k )


2

Adicionar a la fila i, la fila j multiplicada por
el escalar k0:

Se denota como:
A  B  B = En ....... E3· E2· E1· A

A ij (k )
4

5.3 Matrizescalonada
La matriz A está en su forma escalonada si:
a)

b)

Si tiene filas nulas, éstas
se encuentran en la parte
inferior de la matriz.
El primer elemento no nulo
de cualquier fila no nula se
ubica a la derecha del
primer elemento no nulo
de la fila inmediatamente
superior.

4
0

0

0

La matriz A está en su forma escalón reducido
si además:

c) El primer elemento
 10 0 0
no nulo de cualquier
0 1  6 0

A 
fila no nula es 1 y
0 0 0 1


es
el
único
0 0 0 0
elemento no nulo
de su columna.
Los
1
se
denominan
elementos
distinguidos y las columnas que los
contienen columnas distinguidas.

2 0
1 
8  1  4

0 0
4 

0 0
0 

ER

5

6

1

28/09/2013

Ejemplo 9. Las siguientes matrices se encuentran
en suforma escalón reducido.

1
 1 0 4 0 
1 0 0


1
0

4
0
0
1

1
0


B0ER 1 0
A ER  
0 1 0 1 00  0 B 1  0 0 01


A ER  
ER
0 0 00 0 1 0 0  0 0 00


;
0 0 0 0  ;
0 0 0

1
0
0


2
0
0

0
1
0

0
0
1

5
1
3  DER  0
0

8

;

0
10
00
00
01
0

0
00
10
00
00
1

0 0
0 0
11 2 0 0 5
0 0

1  00
1 20 0 0 0 1 50 3  DER
1 0 CER

  0 10
DER
0 CER
1  0 00 1 0 0 0 31 8



;

; 
0 0 0 1

0
1
0

A ER

1
0

0

0

8 

;

; 

0 0

2 0
0
0
0

0
1 0

0 1

0 0

5.4. Reducción de matrices

0
1
0

Reducir una matriz es simplificar, llevarla a su
forma escalonada oescalón reducido,
aplicando operaciones elementales.
Toda matriz, sin importar su tamaño o
elementos de los que esté formada, se puede
llevar a su forma escalonada o escalón
reducido.

7

5.5 Método de eliminación
Jordán
Paso I: Identificar la
primer
columna
no
completamente nula de
la izquierda

de

Gauss-

8

Paso III: Realizar
operaciones, con el fin
de que el primerelemento de la primer
fila sea la unidad
Paso IV: Realizar operaciones sobre las filas
inferiores, (i1), con el fin de anular los
elementos que se encuentran debajo del
primer elemento de la primer fila.

Paso II: Permutar filas,
para que el primer
elemento de la primer
fila sea no nulo.
9

Paso V: Cubrir la primer
fila.
Paso VI: Reiniciar el proceso
Identificar la primer...