Matrices

MATRICES
Ejercicio nº 1.-

a
Halla los valores de a y b en la matriz A = 
0

 0 1
.
siendo B = 
0 0



b
 , de forma que A 2 − 2 A = B ,
a 

Ejercicio nº 2.Dadas las matrices:

 1 1
 2 0 1




A =  1 3 0  y B =  2 1




0 3
5 1 3





a) Comprueba que A −1

 9

1
=  −3
4
 − 14


1
1
−2

− 3

1 

6 

b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.Ejercicio nº 3.Resuelve el siguiente sistema matricial:

0

3 X − 2Y =  5

 15


5
9
−4

− 4

0 ;

4 

 7

2X + Y =  − 6

 10


1
6
−5

2 

7 

− 2 

Ejercicio nº 4.Calcula los valores de x para que la matriz:

x

A = 0

0


0
x
0

0

0

x 

verifique la ecuación A − 6A + 9l = 0, donde l y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de
orden tres.
2Ejercicio nº 5.-

 2 3
 , halla el valor que deben tener x e y
Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = 
 − 2 1


para que se cumpla la igualdad A 2 − xA − yI = 0.

1

Ejercicio nº 6.Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales:
 2 −3 
 1 −4 
=
2X − Y 
;
X + 2Y 
=

 1 −5 
3 0 

Halla X e Y , y calcula, si tiene sentido, X −1 e Y −1.

Ejercicio nº7.-

0 − 1 0



Dada la matriz A = 1 0 0  :


 0 0 1


a) Calcula A2 , A3 , A4 , A5 .
b) Halla el valor de A25 + A−1.

Ejercicio nº 8.Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:
 1 0
 − 1 2
 y B=

A=
 − 1 1
 − 3 1





Ejercicio nº 9.Se considera la matriz:

0

A = 0

0


b

c  , donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.

0 

a
0
0

n

a)Encuentra A para todo natural n.

(

)

2

b) Calcula A 35 − A .

Ejercicio nº 10.Dada la matriz:
0 1 0

A=
 1 0 1


t

t

t

a) Calcula A A y AA , donde A denota la matriz traspuesta de A.

2

x
b) Encuentra las matrices de la forma X =   , tales que: AA t X = X
y 
 
a
 
c) Encuentra todas las matrices de la forma Y =  b  , tales que: A t AY = Y
 
c 
 

Ejercicio nº11.Obtén el rango de la siguiente matriz:

 2

− 1
M =
 4


 7

3
0
9
9

− 1

2 1 

7 − 1 

1 − 4
1

Ejercicio nº 12.Averigua cuál es el rango de:

1 1
− 3 0


 − 1 1 − 1 1

A=
 1

2
−
3
1




−
2
−
1
2
0



Ejercicio nº 13.Calcula el rango de la matriz:

2

1
A=
1


5

−1
2
−8
− 10

0 

−1 2 

9 − 6 

15 − 6 
3

Ejercicio nº 14.Estudia el rango de lamatriz:

4

1
A=
2


1

7

0

0

1

7

−2

−7

1

2 

0 

2 

− 2

3

Ejercicio nº 15.Halla el rango de la siguiente matriz:

1 − 4

1 −1
M =
1 8


3 1

− 5

1 

19 

1 

2
0
−6
2

Ejercicio nº 16.Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:

 3

A = −1

 1


2

1

1

1

−6

−5

2 

− 2

6 Ejercicio nº 17.Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores

{u 1 = (2,



− 1, 0, 1); u2 = (− 1, 0, 2, 1); u3 = (5, − 4, 6, 7 )}

  
y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u 3 .

Ejercicio nº 18.a) Halla el rango de la matriz:

2

−1
A=
3


4

0
1
1
2

− 1

3

4 

1

b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto devectores:



u1 = (2, − 1, 3, 4 ); u 2 = (0, 1, 1, 2 ) y u 3 = (− 1, 3, 4, 1)

Ejercicio nº 19.Dados los vectores:



u1 = (3, − 1, 2, 0 ); u2 = (1, 2, − 1, 1); u3 = (2, 1, 0, − 1)

Estudia la dependencia o independencia lineal y di cuál es el rango de la matriz cuyas



filas son u1 , u 2 , u 3 .

4

Ejercicio nº 20.Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:



u1 = (1,1, − 1, 1); u2 = (2, 3, − 2, 1); u3 = (1, 3, − 1, − 1)

Ejercicio nº 21.En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de
muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:
SILLA

MECEDORA

SOFÁ

MADERA

1 unidad

1 unidad

1 unidades

PLÁSTICO

1 unidad

1 unidad

2 unidades

ALUMINIO

2 unidades

3 unidades

5 unidades

Obtén,...