Matrices

Índice 

Introducción a las matrices 
Definición de matriz 
Algunos tipos de matrices 
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices 
Suma y diferencia de matrices 
Producto de una matriz por un número 
Propiedades simplificativas 
Producto de matrices 
Matrices inversibles 
Cálculo de la mtriz inversa usando determinantes 
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matrizinversa 
Rango de una matriz 
Cálculo del rango usando determinantes 
Cálculo del rango por el método de Gauss
Determinantes 
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 
Cálculo de determinantes por los adjuntos de una línea 
Propiedades de los determinantes 
Cálculo de determinantes por el método de Gauss 
Aplicaciones de los determinantes
Cálculo del rango de una matriz 
Cálculo de lamatriz inversa 
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Cálculos con matrices
Biografías
Cayley 
Hamilton 
Sylvester 
Sarrus 
Gauss 
Jordan 
Rouché 
Fróbenius 
Cramer

Introducción a las matrices 
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853.En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matricesaparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos

Definición de matriz 
Se llama matriz de orden m×n atodo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de lafila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m=1 y por tanto es de orden 1n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principalde la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n,entonces At es de orden n  m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una...