matrices


















Matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

De manera que, en general, cuando se habla de una matriz m×n se estáhaciendo referencia a una matriz que tiene m filas y n columnas. Esta forma de referirse a las matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro.
Según esto una matriz m×n será cuadrada cuando m=n.













Matriz Fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila, es decir su dimensión es 1x n.

Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna, es decir sudimensión será m x 1,

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.


Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se,yu6 obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz nula
En una matriz nula todos loselementos son ceros.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz. es decir su dimensión es n x n

Tipos de matrices cuadradas
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementossituados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonalprincipal son iguales.

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, esinvolutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.

Operaciones con matrices
Suma y diferencia
Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma odiferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.
Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B)+ C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.


Producto por un número real
Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve paradividir una matriz por un número real).

Trasposición de matrices
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Si la matriz A es...