MATRICES

APUNTES DE ÁLGEBRA MATRICIAL
PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA
Julio César Alonso C.

No. 11
Diciembre de 2006

Apuntes de Economía No. 11____________________________________
DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

APUNTES DE ECONOMÍA

ISSN 1794-029X
No. 11, Diciembre de 2006

Editor
Julio César Alonso C.
jcalonso@icesi.edu.co

Asistente de Edición
Vanessa Ospina L.

Gestión Editorial
Departamento deEconomía – Universidad Icesi

www.icesi.edu.co
Tel: 5552334 ext: 207. Fax: 5551441
Calle 18 #122-135 Cali, Valle del Cauca – Colombia

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DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

APUNTES DE ÁLGEBRA MATRICIAL
PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA
Julio César Alonso C1.

Diciembre de 2006

Resumen

Este documento presenta una breve introducción alos conceptos básicos de álgebra
matricial que forman la base de un curso introductorio de Econometría de pregrado. Se
discuten conceptos como la independencia lineal, operación de matrices y resultados
importantes para la estimación matricial de modelos lineales por el método de Mínimos
Cuadrados Ordinarios. Este documento está dirigido principalmente a estudiantes de
pregrado de economía, peropor la sencillez del lenguaje, puede ser de utilidad para
cualquier estudiante o profesional interesado en repasar los conceptos básicos de
álgebra matricial.

Palabras Clave: Álgebra matricial, operaciones de matrices, matriz inversa, Introducción
a la econometría.

Apuntes de Economía es una publicación del Departamento de Economía de la
Universidad Icesi, cuya finalidad es divulgar las notas declase de los docentes y brindar
material didáctico par la instrucción en el área económica a diferentes niveles. El
contenido de esta publicación es responsabilidad de su autor.

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Profesor del Departamento de Economía y Director del Centro de Investigación en Economía y Finanzas
(CIENFI) de la Universidad Icesi, jcalonso@icesi.edu.co.

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Introducción

El concepto de matrices fue inicialmente desarrollado en el siglo XVII, asociado a la
manipulación de gráficos y soluciones de ecuaciones lineales simultáneas. Hoy en día la
aplicación de las matrices y sus operaciones están ligadas a áreas tan diversas como la
física, gráficos de computador, la economía, los métodos estadísticos, la teoría dejuegos,
redes, encriptología, etc.

Una matriz es una forma eficiente de ordenar información en columnas y filas. Por
ejemplo, consideremos una base de datos que contiene información de ventas, costos y
utilidades mensuales para dos empresas (empresa 1 y 2). La información de un mes se
puede ordenar fácilmente en una matriz de la siguiente forma:

 Empresa Ventas Costos Utilidades 

M   Empresa1
a
b
c

 Empresa 2

d
e
f

(A2.1)

Generalmente, se omiten los nombres que toman cada una de las columnas y filas de las
matrices, es decir, (A2.1) se puede reescribir como

a b
M 
d e

c
f 

(A2.2)

El tamaño de una matriz está determinado por el número de filas y de columnas; así, se
dice que la matriz M es una matriz de dimensiones 2  3 (2 filas por 3 columnas). Una
forma rápida deescribir esto es M 23 . En general una matriz puede tener n filas y m
columnas, y se representa así:

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Anm

 a11  a1m  


         aij 
i 1,n ; j 1,, m
 an1  anm  

(A2.3)

En el caso especial cuando m  1 , la matriz A se conoce como un vector columna y se
denota por A. Si n  1, la matriz A se conoce como un vector fila2. Cuando el número



de filas y de columnas es el mismo ( n  m ), la matriz A es llamada matriz cuadrada de
orden n . Si n  m  1 , entonces A es conocido como un escalar (lo que coloquialmente
se conoce como un número).
En el caso de las matrices, se dice que A  B si y solamente si todos los elementos de la
matriz A son iguales a los...