MATRICES

MATRICES Y DETERMINANTES

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1,
2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila ( i )y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento

a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz fila:

Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1
y por tanto es de orden 1 x n.

 a11

a12

a13  a1n 

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.

 a11 


a
 21 a 
 31 
 


 am1 

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:

Matriz cuadrada:

Es aquella que tiene el mismo
número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos
casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, o n x n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal
principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j =
n+1 la diagonal secundaria a11

 a21
a
 31

a
 n1

a12
a22
a32

an 2

a13
a23
a33

an 3

 a1n 

 a2 n 
 a3n 

 
 ann 

Diagonal
Principal

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama

traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se
obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A
es la primera fila de At , la segunda fila de A esla segunda
columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n,
entonces At es de orden n x m.

 2 0
A 

  3 6

 2  3
A 

0 6 
t

MATRICES Y DETERMINANTES
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At,
es decir, si aij = aji  i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si
A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.

0 3
A 

3 0 

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son cero y se
representa por

0

La matriz

es una matriz nula de orden 3

La matriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal sonnulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

MATRICES Y DETERMINANTES
Tipos de matrices:
Matriz Triangular:

Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangularespueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0  i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior

MATRICES Y DETERMINANTES
Operaciones con matricesTrasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles

MATRICES Y DETERMINANTES
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (oviceversa) en
la matriz A.

Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

MATRICES Y DETERMINANTES

Operaciones con matrices

Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra
matriz S=(sij) de la misma...