matrices

ANALISIS MATEMÁTICO PARA
ECONOMISTAS III

MATRICES

Luis Figueroa S.
1

Competencias:

.Define una matriz.Tipos de matrices
.Igualdad de matrices
.Realiza operaciones de suma y producto
por un escalar. Propiedades.
.Transposición. Propiedades.
.Define el producto de matrices.
.Propiedades.
2

Introducción
•

•

Una empresa desea fabricar 4 productos A, B, C, D que requieren de dos materiasprimas digamos “X” e “Y” y de cantidades de unidades de mano de obra. Desea además
comparar los números de unidades que se requieren en la producción semanal de
dichos artículos.
Supongamos que tal información se encuentra dada en la siguiente tabla:
Producto

A

B

C

D

Unidades de material X

250

300

170

200

Unidades de material Y

160

230

75

120

Unidades de mano de obra

80

85

120

100•

Las columnas expresan las unidades requeridas por cada producto, mientras que las filas
expresan las unidades de cada insumo requeridas por los 4 productos
Por ejemplo: 230 es el número de unidades de la materia prima Y usadas para la
producción semanal del producto (artículo) B
3

Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrados en grandes paréntesis.
Se denotancon letras mayúsculas.
El orden o tamaño mxn lo determina el número de filas m y el número de columnas n.
 250 300 170 200
A  160 230 75 120 
 80 85 120 100 



filas

 250 300 170 200
A  160 230 75 120 
 80 85 120 100 



columnas
NOTACIÓN: La matriz A = [ aij ] , donde aij representa el elemento que se encuentra en
La i-esima fila y la j-esima columna. En general una matriz A deorden mxn se escribe:
 a11 a12 a13 ....
a1n 
a
a 23 ....
a 2n 
21 a 22


.

A 
.




a
amn 
 m1 am2 am3 ....
mxn

4

Matriz A de orden mxn

aij : Elemento de la fila i y columna j
Nota:
 A las matrices se les acostumbra
denotar por letras mayúsculas.
 Se emplean paréntesis ( ) o
corchetes [ ] para encerrar los
elementos que conforman a la matriz.
En nuestro curso emplearemoscorchetes.

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TIPOS DE MATRICES
Matriz Nula o Cero
Es una matriz que tiene todos sus
elementos nulos. Se denota por O.

0
0
A 
0

0

0
0
0
0

0

0
0

0

Es una matriz cero de orden 4x3

6

MATRIZ COLUMNA
Tiene m filas y una sola columna.

2


C  6 
  1
La matriz C tiene 3 filas.

7

MATRIZ CUADRADA
El número de filas es igual al número de
columnas. En este caso se diceque la matriz
es de orden n.

2 7 1 


M  9 6  4 
 0 7 2 
La matriz M es cuadrada de orden 3.
Una matriz de orden 1 tiene un sólo
elemento

8

MATRIZ DIAGONAL
La matriz cuadrada A se dice que es
diagonal si cumple con las siguientes
condiciones :
Si ij entonces aij= 0
Los elementos aii no son todos nulos.
2
0

0

0

0
4
0
0

0 0  Matriz Diagonal de orden 4

0 0
1 0  MatrizDiagonal
0 0
0 x 


 de orden 2
0  5
9

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular superior si cumple con las
siguientes condiciones :
Si i > j entonces aij= 0
Si i  j entonces aij es cualquiera
2
0
A 
0

0

3 9 8

4 11  5
0 0
3

0 0  5

10

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular inferior si cumple conlas
siguientes condiciones :
Si i  j entonces aij= 0
Si i  j entonces aij es cualquiera
2
3
A 
12

0

0
8
4
7

0 0

0 0
1 0

5  2

11

MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal con todos los elementos
aii=1. Se denota por In.

Matriz identidad de orden 3
12

IGUALDAD DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del
mismo orden, se dice que A es igual B y
se escribe A=B si para todoelemento ij
se tiene aij= bij
Además el orden de A es igual que el
orden de B.

 1 x  1  3
 2 y 5   4 5 

 


x  3 

y 2
13

Ejemplo:
¿Para que valores de x, y, z las matrices A y B son iguales?

1 x y 
A 

z
3
2





1
4
5
B 
  1 3 2

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Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias
medidas en toneladas en los dos últimos años:
AÑO...