Matrices
Páginas: 35 (8587 palabras)
Publicado: 21 de febrero de 2013
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL
Matemáticas I. Prof.: Ignacio López Torres
Nociones de Cálculo Matricial 1. Definición de matriz. Tipos de matrices. 1.1. Definición. Sean dos conjuntos finitos, = {1 2 } y = {1 2 }. Una matriz , con elementos sobre un cuerpo , es una aplicación de × → ,definida por ( ) → ∈ , en la que los elementos se disponen en una tabla, representando el orden de fila y el de columna. Diremos que la matriz = ( ) tiene filas y columnas, y la representaremos por ⎞ ⎛ 11 · · · 1 ⎜ . . ⎟∈ .. . ⎠ =⎝ . × () . . . 1 · · · o bien, resumiendo, por = ( ) Dos matrices ∈ × () son iguales si y solo si todos sus elementosdel mismo orden son iguales, es decir: = ∀( ) ∈ × . 1.2. Algunos tipos de matrices. 1) Matrices fila y matrices columna, que son matrices del tipo 1 × y × 1 respectivamente. 2) Matrices cuadradas y matrices rectangulares: en el primer caso, coincide el número de filas con el de columnas, y en el segundo no. Si una matriz es cuadrada, se denomina diagonal principal al conjuntode los elementos de para los cuales coincide el índice de fila con el índice de columna, es decir, elementos del tipo . 3) Matrices triangulares: Una matriz cuadrada es triangular superior (resp.inferior) cuando son nulos todos los elementos situados por debajo (resp. por encima) de la diagonal principal, es decir, = 0 ∀ (resp. = 0 ∀ ). 4) Matriz diagonal: una matrizcuadrada ∈ () es diagonal cuando son nulos todos los elementos no situados en la diagonal principal, es decir, = 0 ∀ . Por ello, es frecuente representar estas matrices por = diag{11 22 }. Las matrices escalares, un caso particular de las matrices diagonales, son aquellas matrices diagonales en las que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Un casoparticular de matriz escalar es la matriz identidad que, en adelante, será designada por ( representa el orden de la matriz). En ella, todos los elementos de la diagonal principal son 1 (y el resto 0). 5) Matriz nula: es aquella en la que todos sus elementos son nulos. 6) Matrices simétricas y antisimétricas: una matriz (cuadrada) es simétrica si = ∀ y es antisimétrica (ohemisimétrica) si se cumple que = 1
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
− ∀ (en este último caso, se deduce de la definición que todos los elementos de la diagonal principal son nulos). 1.3. Espacio Vectorial de las matrices. Sobre el conjunto × (), de las matrices tipo × con coeficientes sobre un cuerpo , definimos una ley interna (+) (suma de matrices) y una ley externa (·)(multiplicación de una matriz por un escalar de ) de la manera siguiente: ∀ = ( ) = ( ) ∈ × () + = ( + ). ∀ ∈ ∀ = ( ) ∈ × () · = ( · ). Con dichas leyes, es fácil comprobar que se verifican las propiedades siguientes: 1) Conmutativa: ∀ ∈ × () + = + . 2) Asociativa: ∀ ∈ × () + ( + ) = ( + ) + . 3) Existencia deelemento neutro (la matriz nula 0 ∈ × ) : ∃0 ∈ × : ∀ ∈ × () : 0 + = + 0 = . 4) Cada elemento de × , tiene elemento simétrico (su matriz opuesta): ∀ ∈ × () ∃(−) ∈ × () : + (−) = (−) + = 0 ∈ × . 5) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : ( + ) · = · + · 6) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : · ( · ) = ( · ) · 7) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : · ( + ) = · + ·. 8) El elemento neutro para la ley interna (·) definida en , que se designa por 1, cumple ∀ ∈ × () 1 · =
Los símbolos (+) y (·) que aparecen en las cinco propiedades anteriormente enunciadas, han de tenerse en cuenta en el contexto de la posición en que se hallan ubicados, puesto que, para simplificar los planteamientos, se ha designado por (+) tanto la ley interna (+) definida en...
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Nociones de Cálculo Matricial 1. Definición de matriz. Tipos de matrices. 1.1. Definición. Sean dos conjuntos finitos, = {1 2 } y = {1 2 }. Una matriz , con elementos sobre un cuerpo , es una aplicación de × → ,definida por ( ) → ∈ , en la que los elementos se disponen en una tabla, representando el orden de fila y el de columna. Diremos que la matriz = ( ) tiene filas y columnas, y la representaremos por ⎞ ⎛ 11 · · · 1 ⎜ . . ⎟∈ .. . ⎠ =⎝ . × () . . . 1 · · · o bien, resumiendo, por = ( ) Dos matrices ∈ × () son iguales si y solo si todos sus elementosdel mismo orden son iguales, es decir: = ∀( ) ∈ × . 1.2. Algunos tipos de matrices. 1) Matrices fila y matrices columna, que son matrices del tipo 1 × y × 1 respectivamente. 2) Matrices cuadradas y matrices rectangulares: en el primer caso, coincide el número de filas con el de columnas, y en el segundo no. Si una matriz es cuadrada, se denomina diagonal principal al conjuntode los elementos de para los cuales coincide el índice de fila con el índice de columna, es decir, elementos del tipo . 3) Matrices triangulares: Una matriz cuadrada es triangular superior (resp.inferior) cuando son nulos todos los elementos situados por debajo (resp. por encima) de la diagonal principal, es decir, = 0 ∀ (resp. = 0 ∀ ). 4) Matriz diagonal: una matrizcuadrada ∈ () es diagonal cuando son nulos todos los elementos no situados en la diagonal principal, es decir, = 0 ∀ . Por ello, es frecuente representar estas matrices por = diag{11 22 }. Las matrices escalares, un caso particular de las matrices diagonales, son aquellas matrices diagonales en las que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Un casoparticular de matriz escalar es la matriz identidad que, en adelante, será designada por ( representa el orden de la matriz). En ella, todos los elementos de la diagonal principal son 1 (y el resto 0). 5) Matriz nula: es aquella en la que todos sus elementos son nulos. 6) Matrices simétricas y antisimétricas: una matriz (cuadrada) es simétrica si = ∀ y es antisimétrica (ohemisimétrica) si se cumple que = 1
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− ∀ (en este último caso, se deduce de la definición que todos los elementos de la diagonal principal son nulos). 1.3. Espacio Vectorial de las matrices. Sobre el conjunto × (), de las matrices tipo × con coeficientes sobre un cuerpo , definimos una ley interna (+) (suma de matrices) y una ley externa (·)(multiplicación de una matriz por un escalar de ) de la manera siguiente: ∀ = ( ) = ( ) ∈ × () + = ( + ). ∀ ∈ ∀ = ( ) ∈ × () · = ( · ). Con dichas leyes, es fácil comprobar que se verifican las propiedades siguientes: 1) Conmutativa: ∀ ∈ × () + = + . 2) Asociativa: ∀ ∈ × () + ( + ) = ( + ) + . 3) Existencia deelemento neutro (la matriz nula 0 ∈ × ) : ∃0 ∈ × : ∀ ∈ × () : 0 + = + 0 = . 4) Cada elemento de × , tiene elemento simétrico (su matriz opuesta): ∀ ∈ × () ∃(−) ∈ × () : + (−) = (−) + = 0 ∈ × . 5) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : ( + ) · = · + · 6) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : · ( · ) = ( · ) · 7) ∀ ∈ ∀ ∈ × () : · ( + ) = · + ·. 8) El elemento neutro para la ley interna (·) definida en , que se designa por 1, cumple ∀ ∈ × () 1 · =
Los símbolos (+) y (·) que aparecen en las cinco propiedades anteriormente enunciadas, han de tenerse en cuenta en el contexto de la posición en que se hallan ubicados, puesto que, para simplificar los planteamientos, se ha designado por (+) tanto la ley interna (+) definida en...
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