matrices

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES Y DETERMINANTES.
1.- Introducción a los sistemas lineales
1.1.-Ecuación lineal
1.2.-Sistemas de ecuaciones lineales
1.3.-Sistemas equivalentes
1.4.-Método de Gauss para la resolución de sistemas. Sistemas en forma
escalonada o triangular
1.5.-Método de Gauss-Jordan

2.-Matrices
2.1.- Matriz
2.2.-Matrices cuadradas
2.3.-Operaciones con matrices
2.3.1.-Suma de matrices
2.3.2.-Producto por un escalar
2.3.3.-Producto de matrices
2.3.4.-Propiedades de la matriz traspuesta
2.3.5.-Producto de matrices cuadradas
2.3.6.-Matriz inversa
2.3.7.-Matrices por bloques
2.4.-Expresión matricial de un sistema lineal

3.- Determinante de una matriz cuadrada
3.1. Determinante de una matriz cuadrada de orden2
3.2. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
3.3. Propiedades de los determinantes de segundo y tercer orden
3.4. Determinante de una matriz cuadrada de orden n
3.5. Propiedades de los determinantes de orden n

4.- Matriz inversa de una matriz cuadrada
4.1.- Matrices Elementales
4.2.- Método de Gauss para el cálculo de la matriz inversa

5.- Rango de una matriz
6.- Aplicación del cálculomatricial a los sistemas de ecuaciones lineales
6.1.-Sistemas de Cramer
6.2.-Teorema de Rouché-Frobenius
6.3.- Sistemas homogéneos
6.4.- Estructura de las soluciones de un sistema

7.- Matrices Ortogonales
U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

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Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES Y DETERMINANTES.
1.Introducción a los sistemas lineales
Históricamente, el primer trabajo de álgebra lineal consistió en resolver un sistema de
ecuaciones lineales. El problema de encontrar métodos sencillos y poco laboriosos para
resolver sistemas sigue interesando a muchos investigadores. Existen analogías entre la
geometría analítica y el álgebra lineal que nos conducen al estudio de los sistemas de
ecuacioneslineales: Una recta en el plano viene dada por una ecuación lineal de dos variables
(las dos coordenadas de un punto arbitrario de la recta). Un plano en el espacio viene dado por
una ecuación lineal en tres variables; una recta en el espacio, por dos ecuaciones lineales con
tres variables.
1.1.Ecuación lineal
Definiciones:
Se llama ecuación lineal a una ecuación de la forma:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ...+ a n x n = b ,
donde los coeficientes a 1 , a 2 ,..., a n , así como el término independiente b , son escalares de un
cuerpo conmutativo K, y x 1 , x 2 ,..., x n son las incógnitas.
Una solución particular de la ecuación anterior es una n-upla de escalares
(c1 , c 2 ,..., c n ) tal que a 1c1 + a 2 c 2 + ... + a n c n = b .
La solución general (ó simplemente la solución) de la ecuación es elconjunto
formado por todas las soluciones particulares.
Resolver una ecuación es hallar su solución general.
Tipos de ecuaciones lineales:
•

Ecuación compatible es aquella que tiene alguna solución. Puede ser, a su vez,
compatible determinada cuando tiene una única solución, y compatible indeterminada
cuando tiene más de una solución (en este caso tendrá infinitas soluciones).

•

Ecuaciónincompatible es aquella que no tiene ninguna solución:
0 x 1 + 0 x 2 +...+0 x n = c , con c ≠ 0 .
U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

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•

Ecuación homogénea es la que tiene nulo el término independiente; es decir, es una
ecuación de la forma: a 1 x1 + a 2 x 2 +...+ a n x n = 0 .

Evidentemente, una ecuación homogéneaes siempre compatible puesto que siempre admite la
llamada solución trivial: (0,0,...,0).
Dada la ecuación a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b , se llama ecuación homogénea
asociada a la misma, a la ecuación a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = 0 .

1.2.Sistemas de ecuaciones lineales
Definiciones:
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de
ecuaciones lineales...