Matrices


Tema 1: Matrices. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. .


EJERCICIOS: TEMA 1: MATRICES.


1º/ Dadas las matrices:


2 1 1 −1 1 2 −1 0 −1 1 3 −1 0 1
determinar la matriz X que verifica la ecuación matricialA·B·X=C·X+I, siendo I=0 1 .



2º/ Determinar la matriz X solución de la ecuación matricial A·X ·B=I , donde:

A=−1 1 , B=−1 2 , I=0 1




3º/Determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A·XB=C , donde:

A=−1 −2 , B=−1

0 1
0 , C=0

−1 1
3 .



4º/ Determinar la matriz X que verifica la ecuación A2 ·X−B=A·X , donde:


1 0 −1 2 −1 0 A= 2 1 0 y B= 1 3 −1
−1 1 1 0 1 −1




2 1 0 x 0 5º/ Dadas las matrices A= −1 0 3 , B= y 1
1 1 −2 3 −2

determinar los valores x, y, z que hacen posible la igualdad
1−2 0 2
0 y C= 11 −6 −1 , z −6 4 1
A·B=AC .



6º/ Determinar las matricesA y B que verifican:

2A−B=−4

1 0
−3 A2B=3

−2 5
−4



1 0 7º/ Dada la matriz A= 0 −1
0 1
0, hallar las matrices X que verifique: A·X=X ·A .

Tema 1: Matrices. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. .


8º/ Sean las matrices


2 −1 0 2 1 1 −2 0 2 −1 2 2−2 0
a) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C.


b) Determine la dimensión de la matriz N para que Ct ·N sea una matriz cuadrada.


c) Calcula At ·B·Ct .



1 0 9º/ Dada la matriz A= 0 1
0 0
1, halla A3 , A5 y An .



0 0 10º/Calcula A2000 , siendo A= 0 2
2 0
0.


11º/ Dada la matriz A=0 −1 , halla A2004 .12º/ Determine los valores x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:

3

−1 x 1 2 y y
−1·2 .




−1 −1 −1
13º/ Calcula el rango de la matriz A= 3 6 9 según los valores del parámetro real m. −5 −10 m




14º/ Determina dos matrices X e Y tales que:

3X−2Y=8

−2 −1
4 X −3Y=3 0 .

Tema 1: Matrices. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. .SOLUCIONES:


1º/ Dadas las matrices:


2 1 1 −1 1 2 −1

0 −1 1 3 −1 0 1
determinar la matriz X que verifica la ecuación matricialA·B·X=C·X+I, siendo I=0 1 .


Despejamos la matriz X de la ecuación:


A·B·X=C·X+I


A·B·X-C·X=I


(A·B-C)·X=I


Multiplicamos A·B−C−1 por la izquierda:


A·B−C−1 ·A·B−C·X=A·B−C−1·I


I ·X =A·B−C−1


X =A·B−C −1


Calculamos previamente la matrizA·B-C:A·B−C=0


1 −1

−1 1 · 3
−1−0


−1 3 1 1

−1−0


−1 1 1 1

−2


Calculamos ahora su matriz inversa:



1 2 1 0 1 2 1 0 2 0 1 1 1 1 −2 0 1 0 −4 −1 1 0 −4 −1 1 0
F1  1 F1 F2F2−F1 F12F1F2
F2 4 F2
0 1/2 1/2 1 1/4 −1/4


Por tanto la solución:

X =A·B−C −1=1/4

1/2 −1/4

Tema 1: Matrices.Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. .


2º/ Determinar la matriz X solución de la ecuación matricial A·X ·B=I , donde:

A=−1 1 , B=−1 2 , I=0 1 Despejamos la matriz X de la ecuación:

A·X ·B=I


Multiplicamos A−1 por la izquierda y B−1 por la derecha:


A−1 A· X ·B·B−1=A−1 ·I ·B−1


I · X · I=A−1· I ·B−1


X =A−1·B−1


Calculamos A−1 :


−1 2 1 0 −1 2 1 0−3 0 1 −2 1 1 1 0 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0
F1−1 F1 F2F2F1 F13F1−2F2
F2 3 F2
0 −1/3 2/3 1 1/3 1/3



Calculamos B−1 :


0 1 1 0 −1 3 1 1 −1 3 1 1 −1 0 −2 −1 2 0 1 −1 2 0 1 0 −1 −1 0 0 −1 −1

F1F1F2 F2F2−F1 F1F13F2 F2−F2
00

0 2 1 1
−1


Por tanto, lasolución es:

X=A−1·B−1=−1/3

2/3 2 −1 0 1/3 1/3 1 0 1 −1/3

X=1

1/3 −1/3

Tema 1: Matrices. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. .


3º/ Determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A·X B=C , donde:

A=−1 −2 , B=−1

0 1
0 , C=0

−1 1
3 .


Despejamos la matriz X de la ecuación:


A·XB=C


A· X =C−B


Multiplicamos A−1 por la izquierda:


A−1 ·A·...