matrices

Matrices

Pág. 1

MATRICES

Matrices

Historia
La definición de matriz aparece por primera
vez en el año 1850, introducida por J. J.
Sylvester.
Sin embargo, hace más de dos mil años los
matemáticos chinos habían descubierto ya un
método de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales empleando tablas con
números.

Matrices

Historia
El inicio de la teoría de matrices se debe al
matemático W.R. Hamilton, en 1853.
En 1858, Arthur Cayley introduce
la notación matricial como una
forma abreviada de escribir un
sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas y publicado en
su escrito “Memorias sobre la
teoría de matrices”. Donde define
a las matrices y sus operaciones.

Matrices

Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de
números reales dispuestos en filas y columnas.
 a11
a
A 21
 
a
 m1

a12
a22

am 2

 a1n 

 a2 n 


 amn 

Columnas de la matriz A

Filas de la matriz A

Matrices

Notación
 Las matrices se denotan con letras
mayúsculas: A, B, C..
 Los elementos con letras minúsculas y
subíndices que indican el lugar que ocupan:
aij, bij, cij
 “i”, indica la fila, “j”, la columna en la que se
encuentra el elemento. Ej. a23 está en la fila 2
ycolumna 3.
 Se la puede expresar abreviadamente:

A = (aij ).

Matrices

Pág. 6

Dimensión
 Si la matriz A tiene m filas y n columnas, se
dice que es de dimensión u orden m x n (se
lee “m por n”).
 Siempre en primer lugar el número de filas y
en segundo lugar el de columnas.
 Se denota como:

Amxn

Matrices

Pág. 7

Ejemplos
A continuación algunos ejemplos de matrices:
 2 1
A 

 3 4
A tiene2 filas y 2
columnas, diremos
que su dimensión 2 x
2. ¿Qué elemento es
a21?

 6  4 0
B 

1 2 1
B tiene 2 filas y 3
columnas, diremos
que su tamaño es 2
x 3. ¿Qué elemento
es b23?

1
 3
 2 4
C 
 1 5
1
0


0
0 
2
0 

C tiene 4 filas y 3
columnas, diremos
que su dimensión 4 x
3. ¿Qué elemento es
c32?

Matrices

Pág. 8

Diagonal principal
Aparece dentro de las matricescuadradas y se
forma por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann.
 a11 a12
a
a22
21

A

 
a
 n1 an 2

 a1n 
 a2 n 


 ann 

Diagonal principal

La diagonal secundaria es la formada por los elementos:
a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
2 3
 1
D  6
5 4 
  3  4 0



En la matriz D, la diagonal principal
está formada por 1, 5, 0 y la diagonal
secundaria está formada por 3, 5,-3.

Matrices

Pág. 9

TIPOS
DE
MATRICES

Matrices

Pág. 10

Tipos de matrices
Matriz fila.- es la que sólo tiene una fila, es decir
su dimensión es 1 x n.
Ejemplo:

B 1 0  4 9 
B es una matriz fila de dimensión 1 x 4

B1x4

Matrices

Pág. 11

Tipos de matrices
Matriz columna.- Es la que sólo consta de una
columna, es decir su dimensión será m x 1.
Ejemplo:

 1 


C  0 
  8
 

Esuna matriz columna de dimensión 3 x 1.

Matrices

Pág. 12

Tipos de matrices
Matriz Rectangular.- Es una matriz que tiene
el número de filas diferente al de columnas,
siendo su orden m x n, m ≠ n.
Ejemplo:

Es una matriz de dimensión 3 x 2.

Matrices

Pág. 13

Tipos de matrices
Matriz Cuadrada.- cuando tiene el mismo
número de filas que de columnas, es decir su
dimensión es n x n.
2 3
 1

 2 1
D  6
5 4
 3 4
  3  4 0




Matriz cuadrada
dimensión 2x2 o
simplemente de orden 2.

Matriz cuadrada de
orden 3.

Matrices

Pág. 14

Tipos de matrices
Matriz Triangular superior.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos los elementos bajo la
diagonal principal iguales a cero.
1 4 3 


F  0 9  5 
0 0 3 


Triangular superior

Matrices

Pág. 15

Tipos de matrices
MatrizTriangular Inferior.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos los elementos sobre
la diagonal principal iguales a cero.
0 
1 0 0
0  4 0

0

E 
0 
3 4 5
 1 3 16  78 


Triangular inferior

Matrices

Pág. 16

Tipos de matrices
Matriz Diagonal .- Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos sobre y bajo la
diagonal principal iguales a cero. Esto es aij = 0
si i ≠ j.
0...