Matrices

CARACTERÍSTICAS GENERALES

Definición: una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:
[pic]
, donde cada elemento [pic][pic]: i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa lacolumna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intérvalos,
[pic]
Así, cuando una matriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo [pic]. Por tanto, se designa por [pic] al conjunto de las matrices [pic] de números reales.

CONSTRUCCIÓN DE UNA MATRIZ

El concepto de matriz está estrechamente relacionado con los sistemas de ecuaciones; es por esto que enuncio estaunidad justo después de haber estudiado los sistemas de ecuaciones. Para explicar este hecho nos basamos en el siguiente ejemplo, ya que resulta más sencillo un ejemplo que la teoría:
En una papelería, un cliente compra cuatro bolígrafos y tres rotuladores por un total de 293 pesetas. Otro se lleva dos bolígrafos y cinco rotuladores por 339 pesetas. ¿Cuánto vale cada artículo?
Se trata de unproblema muy típico, que puede resolverse mediante el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas y dos ecuaciones:
[pic]

Las incógnitas x e y juegan un papel pasivo, pues las operaciones con ecuaciones consisten en operar con los coeficientes de estas incógnitas y con el término independiente. Así, una forma de esquematizar este “proceso” consiste en escribir entreparéntesis los números que intervienen en las operaciones de la siguiente forma; prescindiendo de incógnitas:
[pic]
Así se construye una matriz matemática. En este caso, la matriz está compuesta por dos filas horizontales y tres columnas verticales.
Si ahora multiplicamos la segunda ecuación por dos (método de reducción para despeje de incógnita), y las restamos; obtenemos:
[pic]

Paraacabar el problema, volvemos a escribir el sistema y despejamos la incógnita:
[pic] [pic] [pic]
Así hemos obtenido que cada bolígrafo cuesta 32 pesetas y cada rotulado, 55.

ÁLGEBRA DE MATRICES

Es importante destacar que el conjunto de las matrices que son del tipo [pic] forman unas estructuras determinadas con las operaciones de la suma y del producto.

SUMA DE MATRICES

Sean dosmatrices del tipo [pic] A y B:
[pic] [pic]

Por definición, la suma de A y B es la matriz [pic] que se obtiene sumando cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así:
[pic]

El conjunto [pic]de las matrices de tipo [pic]con la suma tiene estructura de cuerpo conmutativo. Mi apoyo de la afirmación anterior la saco de las propiedades más importantes de la suma de matrices detipo [pic]:
- Propiedad conmutativa: para dos o más matrices cualesquiera A y B, siempre se cumple que A+B=B+A.
- Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C).
- Elemento neutro: existe elemento neutro, una matriz 0 tal que para todas la matriz A se verifica lo siguiente: A+0=0+A=A. La matriz 0 posee todos sus elementos igualados a cero y se denomina matriz nula de tipo [pic].
-Elemento simétrico: existe elemento simétrico para toda la matriz A, que es [pic]. Además se cumple que [pic]. La matriz –A de A es aquélla que posee los mismos elementos pero cambiados de signo, todos ellos.

PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ

Si consideramos r un nº real y A una matriz de tipo [pic], se verifica que el producto de r por A es la matriz de tipo [pic] que se obtiene al multiplicarr por cada uno de los elementos de A:
[pic]
Destaquemos ahora las propiedades más importantes del producto de un número real por una matriz:
- Asociativa: para dos números reales cualesquiera r, s y una matriz A de tipo [pic] cualquiera se verifica que [pic]
- Doble distributiva: para un número real cualquiera r y dos matrices cualesquiera A, B de tipo [pic] se verifica que: [pic]...