matricez y determinantes

Matrices y Determinantes
2º Bachillerato

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial S.M.)

Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la filay el segundo la columna
2ª columna

3ª fila

 a11

 a21
 a31
 ..

 am1

a12
a22
a32
..
am2

a13 ...... a1n 

a23 ...... a2n 
a33 ...... a3n  = (aij)
.. .. .. 

am3 ...... amn 
Dimensión de la matriz

m n

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

 a11

 a21
A = (ai,j)=  a31


a
 n1

a12
a22
a32

an 2

a13  a1n 

a23  a2 n 
a33  a3n 

  

an 3  ann 

Abreviadamente suele expresarse en la forma
A =(aij), con i =1, 2, ...,m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la
matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado losiguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden
agrupar en una matriz







2

1

1

1

1

1

1

1

0







Expresión matricial: ejemplo

2 x  5 y  3z  1
 x - 4y  z  2

El sistema 

Tiene lasiguiente matriz de los coeficientes: A =

Tiene la siguiente matriz ampliada:

A*

Tiene la siguiente expresión matricial:






2 5 –3 

1 –4 1 







2 5 –3 1 

= 1 –4 1 –2 






 x  
2 5 –3 
1

y =

1 –4 1 
 – 2
 z 










Clasificación de matrices: Forma


• Matriz simétrica: es una matrizcuadrada
que verifica que:

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )



2
 
Matriz columna: A =  4 
6



 1 3 5

Matriz cuadrada:A=  2 4 6
 1 1 1

aij  a ji

Diagonal
secundaria

Diagonal
principal

 A = AT

1 2 4 


2 3 5 
 4 5 -1 







• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:

aij  -a ji  A = –AT
 0 2 -4 

 -2 0 3 
 4 -3 0 



Clasificación de matrices: Elementos
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los
elementos son nulos.
0 0 0


O  0 0 0
0 0 0


3 3

0

O  0
0


0

0
0


3 2

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes a
la diagonal principal son nulos.
 2 0 0


D   0 3 0
0 0 1



• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son iguales.
 2 0 0


A  0 2 0
 0 0 2



• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
1 0 0


I3   0 1 0 
0 0 1



• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.1 3 6


T  0  2 3
0 0 4



• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
1 0 0


T  3  2 0
3 5 4



Operaciones con matrices

Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número

Producto de matrices
Propiedades simplificativas
Matrices...