Matricez

INTRODUCCIÓN:

El estudio de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Leibniz, uno de los dos fundadores del análisis, desarrolló la teoría de los determinantes en 1693 para facilitar la Resolución de las ecuaciones lineales. Gabriel Cramer tuvo que profundizar esta teoría, presentando el método de Cramer en 1750. En losaños 1800, el método de eliminación de Gauss-Jordan se puso a punto. Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1850. Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices.
Una matriz puede identificarse a una aplicación lineal entre dos espaciosvectoriales de dimensión finita. Así la teoría de las matrices habitualmente se considera como una rama del álgebra lineal. Las matrices cuadradas desempeñan un papel particular, porque el conjunto de matrices de orden n (n entero natural no nulo dado) posee propiedades de « estabilidad » de operaciones.
Las matrices definidas positivas aparecen en la búsqueda de máximos y mínimos de funciones avalores reales, y a varias variables.
Es también importante disponer de una teoría de matrices a coeficientes en un anillo. En particular, las matrices a coeficientes en el anillo de polinomios se utilizan en teoría de mandos.
En matemáticas puras, los anillos de matrices pueden proporcionar un rico campo de contraejemplos para conjeturas matemáticas.
Por último se define el concepto desucesión y se detallan sus diversas formas de expresión, estudiando, particularmente, las propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas, así como las diferencias entre ambas. Se pretende ser capaces de aplicar las expresiones de los términos generales o las sumas de términos en la resolución de problemas


Matriz:
Es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad deelementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.Adicción de matrices:
Sean. Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria
Tal que
Y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es.
Veamos un ejemplo más explícito. Sea

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Lasmatrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si

Entonces A ± B = C
En donde

Es decir, , en donde para toda i y toda j.

EJEMPLO:

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Un solonúmero real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalaren las operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo tanto, si
Y kes cualquier escalar (o constante)
Entonces


EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

Dos matrices se pueden multiplicar entre sísólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en Aes el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que Ay el mismo número de columnas que B....