Matricial

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

( LECCIÓN )

CONCEPTOS E HIPÓTESIS BÁSICAS

COMPORTAMIENTO
COMPORTAMIENTOLINEAL:
LINEAL:
DE
DELA
LAESTRUCTURA
ESTRUCTURAYYMATERIALES
MATERIALES

MOVIMIENTOS
MOVIMIENTOSPEQUEÑOS
PEQUEÑOS
COMPARADOS
COMPARADOSCON
CONLAS
LASDIMENSIONES
DIMENSIONESDE
DELA
LA
ESTRUCTURA
ESTRUCTURA

SE
SEDESPRECIAN
DESPRECIANLOS
LOSFENÓMENOS
FENÓMENOSQUE
AFECTAN
Y
VARÍAN
QUE AFECTAN Y VARÍANLA
LARIGIDEZ.
RIGIDEZ.

MATERIALES
MATERIALESHOMOGÉNEOS
HOMOGÉNEOSEEISÓTROPOS
ISÓTROPOS

RELACIONES FUNDAMENTALES
DEL

CÁLCULO ESTRUCTURAL

1ª RF.

LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO.
(  F=0,  M=0).

Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo,
barra, conjunto, y con las cargas exteriores.

LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE
MOVIMIENTOS.

2ªRF.

Entre los elementos de la estructura y con las condiciones de
contorno; así, por ejemplo; en uniones rígidas tendremos los
ángulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tan
solo los movimientos serán solidarios.

3ª RF.

LA LEY DE COMPORTAMIENTO.

Que relaciona las tensiones con las deformaciones
(leyes de Hooke, ecuaciones de Lamé,...).

MÉTODO DE LA RIGIDEZ



MÉTODO DEEQUILIBRIO

Fi

i

)i, i

i
i
)i ,  i
Fi
Ri

=
=
=
=

Ri

vector desplazamientos y giros de nudos.
vectores esfuerzos y deformación de barras.
vector cargas externas.
vector de ligaduras liberadas (internas y externas).

Compatibilidad.

 i = f 1(
i)
Comportamiento.

) i = f 2( i)

) i = f 3(
i)

$

Equilibrio.
(R i,F i) = f 4( ) i)

$

(R i,F i) = f 5(
i) <

< f 5(
i ) = (R i,F i) = (F i,valor conocido ) 
i, R i   i  ) i

COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD


P
P=K·

M


M=K·

[1]

P
1
= ---- = ---·P=a·P
K
K

[2]

[3]

M
1
 = ---- = ---- · M = a · M
K
K

[4]

Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad:
=1 P=K
=1 M=K

<

<

RIGIDEZ
RIGIDEZ
Fuerza
Fuerzaoopar,
par,que
queaparece
apareceante
anteun
unalargamiento
alargamientooogirogirounitario
unitario
Si en [2] o [4] hacemos la fuerza o momento, respectivamente, unidad:
=a
M=1 =a
P=1

<

<

FLEXIBILIDAD
FLEXIBILIDAD
Alargamiento
Alargamientooogiro
giroproducido
producidopor
poruna
unafuerza
fuerzaoopar
parunidad
unidad

COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD

3

6

2

5
4

1
2

1 F=K·u

K = matriz de rigidez.
A = matriz de flexibilidad.

u=A·F

El coeficiente derigidez, krs, que relaciona las coordenadas “r” y “s”,
es la fuerza que aparece en la coordenada “r” al dar un movimiento
exclusivo y unitario en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos
los demás (us=1; uj=0 para j C s).
El coeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadas“r” y
“s”, es el movimiento que aparece en la coordenada “r” debido a una
fuerza exclusiva y unitaria en lacoordenada “s”, manteniendo nulos
todos los demás (Fs=1; Fj=0 para j C s).

Fr = krs 1 # u 1 + krs 2 # u 2 + krs 3 # u 3 + ... + krs i # u i,
Matricialmente.
F1
F2
F3
F4
F5
F6

k11
k21
= k31
k41
k51

k12
k22
k23
k42
k52

k13
k23
k33
k43
k53

k14
k24
k34
k44
k54

k15
k25
k35
k45
k55

k16
k26
k36
k46
k56

k61 k62 k63 k64 k65 k66

[F]=[K]·[]

·

u1
u2
u3
u4
u5
u6

SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓNSistema de referencia
Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura
(coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc).

2

L

3

N
5

1

L

L

L

G

4

DISCRETIZACIÓN
Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)
Sistema local
En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local,
al que referiremos los movimientosy fuerzas de cada barra.

Sistema global
Puesto que en el proceso de discretización de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de
elementos y nodos, será preciso definir un sistema único, global, que permita referir a él de forma única y
para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos.

Sistema nodal
A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso...