Matrius
Páginas: 7 (1701 palabras)
Publicado: 3 de noviembre de 2011
Nom i cognoms de l'estudiant
Prova d'avaluació continuada 1. Matrius i sistemes d'equacions
Enunciats i solucions
PREGUNTES CURTES:
1. Donades les matrius [pic], [pic] i [pic], calculeu [pic].
SOLUCIÓ: Per obtenir la matriu transposada d’ [pic] s’ intercanvien les files i les columnes:
[pic].
Per realitzar el producte d’un nombre real per una matriu, s’ha demultiplicar el nombre real per cadascun dels elements de la matriu,
[pic].
Observeu que la matriu [pic] té 2 files i 3 columnes, i la matriu [pic] té 3 files i 2 columnes. Per tant, és possible realitzar el producte [pic]. Per fer-ho, seguirem les explicacions de la pàgina 10 del mòdul 2 i el resultat serà una matriu amb dues files i dues columnes:
[pic].
Finalment,
[pic].Noteu que estam sumant dos matrius del mateix orde, és a dir, amb el mateix nombre de files que de columnes. La suma s’obté sumant els elements que ocupen la mateixa fila i columna.
2. Donada la matriu
[pic],
per a quins valors del paràmetre [pic] la matriu A té rang 2 ?
SOLUCIÓ: Si calculem el determinant de la matriu [pic] el resultat és:
[pic].
Per tant,si [pic] el determinant serà nul i la matriu tindrà rang inferior a 3. Al contrari, quan [pic] el rang d’[pic] serà 3. Finalment, observem que el rang d’[pic] sempre és major o igual que 2, donat que el menor obtingut al seleccionar les dues primeres files i les dues primeres columnes és diferent de zero,
[pic].
En conseqüència, el rang de la matriu [pic] serà 2 si i només si [pic].També podem calcular el rang aplicant l’algorisme de Gauss. Si a la segona fila li sumem dues vegades la primera obtenim
[pic].
Si ara multipliquem la tercera fila per tres, el resultat és
[pic].
Finalment, si a la tercera fila li restem la segona,
[pic].
Clarament, si [pic] el rang d’[pic] serà 3, mentre que si [pic] el rang serà 2.
3. Donada lamatriu[pic], per a quins valors del paràmetre [pic] existeix la matriu inversa [pic]?
SOLUCIÓ: Tal i com s’explica en la pàgina 45 del mòdul 2, per que la matriu [pic] sigui invertible és necessari i suficient que el seu determinant no s’anul·li. Si calculem el determinant d’[pic] el resultat és
[pic].
Per tant, [pic] si i només si [pic]. En conseqüència, quan [pic] la matriu no tindràinversa, i quan [pic] sigui diferent de [pic], existirà [pic].
4. Quant ha de valer m per tal que el sistema d'equacions [pic] sigui incompatible?
SOLUCIÓ: Un sistema incompatible és un sistema que no té solució. Com s’explica en las pàgines 23 i 24 del mòdul 2, un sistema és incompatible si el rang de la matriu de coeficients del sistema és diferent del (és a dir, inferior al) rangde la matriu ampliada.
La matriu de coeficients del sistema és [pic]. Quan el determinant d’aquesta matriu sigui diferent de [pic], el seu rang serà. En cas contrari, el rang serà estrictament inferior a [pic] ([pic] en aquest cas, donat que la matriu té coeficients no nuls). Donat que
[pic]
val [pic] si i només si [pic], el sistema serà compatible determinat quan [pic].Quan [pic] la matriu ampliada és
[pic].
Noteu que el menor obtingut quan eliminem la segona columna de la matriu ampliada és no nul,
[pic],
d’on es dedueix de que per [pic] el sistema serà incompatible, doncs el rang de la matriu de coeficients del sistema és [pic] i el rang de la matriu ampliada és [pic].
També podem estudiar la compatibilitat del sistema aplicantl’algorisme de Gauss. Si en la matriu ampliada restem a la segona fila dues vegades la primera, obtenim
[pic],
d’on es dedueix que si [pic] el sistema serà incompatible.
EXERCICIS:
1. Una empresa produeix tres productes, que anomenarem [pic], [pic] i [pic], respectivament. Siguin [pic] les quantitats venudes d'aquests productes i [pic] els seus preus de venta. Se sap que la...
Prova d'avaluació continuada 1. Matrius i sistemes d'equacions
Enunciats i solucions
PREGUNTES CURTES:
1. Donades les matrius [pic], [pic] i [pic], calculeu [pic].
SOLUCIÓ: Per obtenir la matriu transposada d’ [pic] s’ intercanvien les files i les columnes:
[pic].
Per realitzar el producte d’un nombre real per una matriu, s’ha demultiplicar el nombre real per cadascun dels elements de la matriu,
[pic].
Observeu que la matriu [pic] té 2 files i 3 columnes, i la matriu [pic] té 3 files i 2 columnes. Per tant, és possible realitzar el producte [pic]. Per fer-ho, seguirem les explicacions de la pàgina 10 del mòdul 2 i el resultat serà una matriu amb dues files i dues columnes:
[pic].
Finalment,
[pic].Noteu que estam sumant dos matrius del mateix orde, és a dir, amb el mateix nombre de files que de columnes. La suma s’obté sumant els elements que ocupen la mateixa fila i columna.
2. Donada la matriu
[pic],
per a quins valors del paràmetre [pic] la matriu A té rang 2 ?
SOLUCIÓ: Si calculem el determinant de la matriu [pic] el resultat és:
[pic].
Per tant,si [pic] el determinant serà nul i la matriu tindrà rang inferior a 3. Al contrari, quan [pic] el rang d’[pic] serà 3. Finalment, observem que el rang d’[pic] sempre és major o igual que 2, donat que el menor obtingut al seleccionar les dues primeres files i les dues primeres columnes és diferent de zero,
[pic].
En conseqüència, el rang de la matriu [pic] serà 2 si i només si [pic].També podem calcular el rang aplicant l’algorisme de Gauss. Si a la segona fila li sumem dues vegades la primera obtenim
[pic].
Si ara multipliquem la tercera fila per tres, el resultat és
[pic].
Finalment, si a la tercera fila li restem la segona,
[pic].
Clarament, si [pic] el rang d’[pic] serà 3, mentre que si [pic] el rang serà 2.
3. Donada lamatriu[pic], per a quins valors del paràmetre [pic] existeix la matriu inversa [pic]?
SOLUCIÓ: Tal i com s’explica en la pàgina 45 del mòdul 2, per que la matriu [pic] sigui invertible és necessari i suficient que el seu determinant no s’anul·li. Si calculem el determinant d’[pic] el resultat és
[pic].
Per tant, [pic] si i només si [pic]. En conseqüència, quan [pic] la matriu no tindràinversa, i quan [pic] sigui diferent de [pic], existirà [pic].
4. Quant ha de valer m per tal que el sistema d'equacions [pic] sigui incompatible?
SOLUCIÓ: Un sistema incompatible és un sistema que no té solució. Com s’explica en las pàgines 23 i 24 del mòdul 2, un sistema és incompatible si el rang de la matriu de coeficients del sistema és diferent del (és a dir, inferior al) rangde la matriu ampliada.
La matriu de coeficients del sistema és [pic]. Quan el determinant d’aquesta matriu sigui diferent de [pic], el seu rang serà. En cas contrari, el rang serà estrictament inferior a [pic] ([pic] en aquest cas, donat que la matriu té coeficients no nuls). Donat que
[pic]
val [pic] si i només si [pic], el sistema serà compatible determinat quan [pic].Quan [pic] la matriu ampliada és
[pic].
Noteu que el menor obtingut quan eliminem la segona columna de la matriu ampliada és no nul,
[pic],
d’on es dedueix de que per [pic] el sistema serà incompatible, doncs el rang de la matriu de coeficients del sistema és [pic] i el rang de la matriu ampliada és [pic].
També podem estudiar la compatibilitat del sistema aplicantl’algorisme de Gauss. Si en la matriu ampliada restem a la segona fila dues vegades la primera, obtenim
[pic],
d’on es dedueix que si [pic] el sistema serà incompatible.
EXERCICIS:
1. Una empresa produeix tres productes, que anomenarem [pic], [pic] i [pic], respectivament. Siguin [pic] les quantitats venudes d'aquests productes i [pic] els seus preus de venta. Se sap que la...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.