Matrius

UNITAT 1 :Matrius

Concepte de matriu: Una matriu de m files i n columnes és una taula de mxn nombres reals ordenats en ordenades m files i n columnes d'aquesta manera:

o, abreviant, A=( aij ) o A=( aij )mxn si hi volem incloure la dimensió.
Exemple:
Cadascun d’aquests nombres es diu element de la matriu i la seva posició queda determinada pel nombre de fila i de columna. Els subíndexsde cada element indiquen la seva posició dins de la matriu: el primer subíndex indica la fila i el segon la columna.
En l'exemple anterior: a11 = 2; a12 = 3; a21 = - 4 i a22 = -1

La dimensió d’una matriu s’escriu com mn, on m = nombre de files i n = nombre de columnes.
Exemple:


Aquesta matriu està formada por 3 files i 4 columnes. Per tant és de dimensió 34.
Atenció:
Dues matrius,A i B, del mateix ordre són iguals quan coincideixen tots els seus elements.











TIPUS DE MATRIUS:

1) Matriu fila = matriu que té una sola fila. És de la forma
2) Matriu columna = matriu que té una sola columna. És de la forma
3) Matriu nul·la = és una matriu on tots els elements són 0.
Exemple: la matriu nul·la d’ordre (3,2) és
4) Matriu quadrada =matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. La seva dimensió és n  n. En aquestes matrius diem diagonal principal de la matriu = els elements a11, a22, a33, ..., ann.
4.1. Matriu diagonal: matriu que té tots els elements de fora la diagonal = 0

4.2. Matriu identitat o unitat: matriu diagonal i que té tots els elements de la diagonalprincipal són = 1.


5) Matriu transposada = s’obté intercanviant les files per les columnes d’una matriu. S’escriu com At .
Exemple:
La matriu transposada a és
6) Matriu triangular superior = matriu que tots els elements situats per sota de la diagonal principal iguals a 0.
Exemple:OPERACIONS AMB MATRIUS:

Suma de matrius:
Es tracta de sumar elements que són a la mateixa posició. És a dir:
A+B = (aij)+(bij) = (aij + bij)
Condicions:
Cal que siguin de la mateixa dimensió per poder fer la suma.
Compleix que és una operació:
- associativa : (A+B)+C = A + (B+C)
- commutativa : A+B = B+A
- existència element neutre : A + O = A
- existència element invers : A +(-A) = O
Per exemple:
i aleshores
Atenció!: Per restar dues matrius, només cal fer la suma de la primera amb l’oposada de la segona, és a dir:
A – B = A + (- B)

Producte d’un nombre real per una matriu:
Es tracta de multiplicar tots els elements de la matriu pel nombre donat. És a dir,
kA = k(aij) = (k aij)

Condicions:
No cal tenir en compte la dimensió de la matriu.
Compleixque:
- k(A+B) = kA + kB
- (k+h)A = kA + hA
Per exemple:
Donada la matriu
, si volem fer 3A =

Producte de dues matrius:
Exemple 1:

Exemple 2:
Si i , aleshores

Condicions:
Cal que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu. Així es pot fer el producte, si les dimensions de les dues matrius són de la forma m x n i n x p.Compleix que:
- (A·B)·C = A·(B·C)
- In·A = A·In
- A·(B+C) = A·B + A·C
NO ÉS COMMUTATIVA!, és a dir, A·B≠B·A


Potència d’una matriu quadrada:

An = A· …·A (n vegades)



RANG D’UNA MATRIU:

Combinacions lineals de les files d’una matriu:
Una fila (o columna) d’una matriu depèn linealment d’altres files (o columnes) de la matriu, si la podem posar com a combinació lineald’aquestes, és a dir:
Si existeixen k1, k2, …, kn de manera que
Fk = k1·F1 + k2·F2 + … + kn·Fn
Una fila (o columna) d’una matriu és linealment independent, si no és linealment dependent.
Exemples:
1) La matriu té les files linealment independents, ja que no
hi ha cap nombre que multiplicat per una fila faci que obtinguem l’altra fila.
2) La matriu té les files F2 i F3 linealment...