Matriz Asociada

Páginas: 5 (1213 palabras) Publicado: 12 de mayo de 2013
PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN
Problema 1: Sean P≤ 2 y P≤3 los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o
igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P≤ 2 → P≤3 la transformación
definida por:
T ( p ( x)) = x ⋅ p( x)

(a) Determinar la matriz asociada con T .
(b)Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:

A : {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } y B : {1, x, x 2 , x3 }

(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 .
SOLUCIÓN:
(a)
• Para obtener la matriz asociada con T , M (T ) , se calculan las imágenes de la base

{

}

canónica del dominio P≤ 2 = a + bx + cx 2 a, b, c ∈ R.
• Imágenes de Bcanonica de P≤ 2 = {1, x, x 2 } :
T (1) = x
T ( x) = x 2
T ( x 2 ) = x3

• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las
columnas de la matriz buscada:
⎡0
⎢1
M (T ) = ⎢
⎢0

⎣0

(b)

0
0
1
0

0⎤
0⎥

0⎥

1⎦

Matriz asociada con T

• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se determina con la expresión T (v) = M (T ) ⋅v ,
es decir, multiplicando:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

1 de 7

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales
⎡0
⎢1
T (v) = M (T ) ⋅ v = ⎢
⎢0

⎣0

(c)

0⎤
⎡0⎤
⎥⎡ 1 ⎤ ⎢ 1 ⎥
0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
5 =
⇒ T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x3
0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎥ ⎢ −1⎥⎢ ⎥
1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1⎦

0
0
1
0

Imagen pedida
(obtenida con M (T ) )

• Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se
calculan primero las imágenes de los vectores de la base A :
T (1 − x 2 ) = x − x3 = T (a1 )
T (1 + 3 x + 2 x 2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = T (a2 )
T (5 + 4 x + 4 x 2 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x3 = T (a3 )

• Se escriben a las imágenes anteriores comocombinación lineal de los vectores de
la base B , es decir:
T (a1 ) = x − x 3 = α1 (1) + α 2 ( x) + α 3 ( x 2 ) + α 4 ( x 3 )

Igualando términos: - α1 = 0 ;

α2 x = x
α2 = 1

α3 x = 0 x
2

;

α4 x = −x

2

α3 = 0

3

;

⎡0⎤
⎢1⎥
⎡T (a1 ) ⎤ = ⎢ ⎥

⎦B ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ −1⎦

3

α 4 = −1

T (a2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3

Igualando términos:β1 = 0 ;

β2 x = x
β2 = 1

β3 x = 3x
2

;

2

β3 = 3

β4 x = 2x
3

;

3

β4 = 2

⎡0⎤
⎢1 ⎥
⎡T (a2 ) ⎤ = ⎢ ⎥

⎦ B ⎢ 3⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦

T (a3 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x 3 = γ 1 + γ 2 x + γ 3 x 2 + γ 4 x 3

Igualando términos: γ 1 = 0 ;

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

γ 2 x = 5x
γ2 = 5

γ 3x = 4x
2

;

γ3 = 4

2 de 7

2

γ 4 x = 4x3

;

γ4 = 4

3

⎡0⎤
⎢5⎥
⎡T (a3 ) ⎤ = ⎢ ⎥

⎦ B ⎢4⎥
⎢ ⎥
⎣4⎦

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales
⎡0
⎢1
A
• Finalmente la matriz buscada es: M B (T ) = ⎢
⎢0

⎣ −1

(d)

0 0⎤
1 5⎥

3 4⎥

2 4⎦

Matriz asociada con
T y referida a las
bases A y B

• Laimagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se obtiene con la expresión:
A
⎡T (v) ⎤ = M B (T ) ⋅ (v) A

⎦B

• Escribiendo a v = 1 + 5 x − x 2 como combinación lineal de la base
A = {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } , se tiene:
v = α(1 − x 2 ) + β(1 + 3x + 2 x 2 ) + γ (5 + 4 x + 4 x 2 )
1 + 5 x − x 2 = (α + β + 5γ ) + (3β + 4λ ) x + (−α + 2β + 4γ ) x 2

• Igualando términos:

α + β + 5γ= 1
3β + 4γ = 5
−α + 2β + 4 γ = −1

• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⎛ 1 1 5 1 ⎞ (1) ⎛ 1 1 5 1 ⎞
⎛1 1 5 1 ⎞
⎛1 1 5 1 ⎞








∼ ⎜0 3 4 5 ⎟
⎜ 0 3 4 5 ⎟ ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ (−1) ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟
⎜ −1 2 4 − 1 ⎟
⎜ 0 3 9 0⎟
⎜ 0 0 5 −5 ⎟ (1/ 5) ⎜ 0 0 1 −1⎟









• Se llega a:
5 − 4 γ 5 − 4(−1)
α = 1 − β − 5γ
α + β + 5γ = 1...
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