Matriz Aumentada

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Matriz aumentada
En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.
Sean las matrices  y , donde

Entonces la matriz aumentada  se representa de la siguiente manera:

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados pormatrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.
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Ejemplos
Sea  una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde 
Para encontrar la inversa de , se crea , donde  es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de  correspondiente a , usandoúnicamente transformaciones de matriz elementales en .

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

la matriz aumentada estaría formada por:

y

dando como resultado final:

Menor complementario de un elemento de un determinante
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor deldeterminante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
  

Adjunto de un elemento de un determinante
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +    si  i+j  es par.
El signo es -    si  i+j  es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntoscorrespondientes:

  

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Matriz de adjuntos
En la terminología matemática moderna, se denomina matriz adjunta a la matriz conjugada traspuesta.1
Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj(A) suele crearconfusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra lineal corresponde a la matriz de cofactores traspuesta,1 2 3sin embargo, en otros textos, se corresponde a la matriz de cofactores, puesto que llaman de la misma manera adjunto al cofactor y de ahí que sea adjunta.4 5Aparte, también se utiliza el símbolo adj( ) indistintamente a cof( ) para el cálculo en los elementos de una matriz,haciendo, si cabe, la confusión más amplia.6
El interés principal de la matriz adjunta es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

donde adj(A) corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,
.
Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método deeliminación de Gauss.
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Definición y fórmulas de cálculo
Dada una matriz  su matriz de adjuntos es la única matriz  tal que:7

Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos (o cofactores) por lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente fórmula explícita. Dadas las componentes explícitas dela matriz:  para cada i y j se define la matriz  como la matriz de orden  obtenida a partir de  eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima. Y se define la cantidad:

Y se tiene que estas son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos (o cofactores), es decir, 
[editar]Matrices 2 x 2
Dada una matriz de 2 x 2:

Su matriz adjunta viene dada por:

donde C es la matrizde cofactores.
[editar]Matrices 3 x 3
Dada una matriz de 3 x 3:

Su matriz de cofactores viene dada por:

y por lo tanto la transpuesta de la matriz de cofactores es la matriz Adjunta:

Para matrices de 3x3 también puede usarse la siguiente fórmula:

[editar]Ejemplo
Un ejemplo sería el siguiente:

Matrices n x n
Para matrices con n grande, el costo computacional del cálculo de adjuntos...