Matriz De Una Transformacuion Lineal

LA MATRIZ DE UNA TRASFORMACION LINEAL
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales,que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría decategorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyodominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo , y una función de en . es una transformación linealsi para todo par de vectores y pertenecientes a y para todo escalar perteneciente a , se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.


Ejemplos
Transformación lineal identidadHomotecias
con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias


Propiedades de las trasformaciones lineales
Sean y espacios vectorialessobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación linealestá formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1.dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que sonimágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen....