matriz hessiana

1.- Funciones Matriz Hessiana
La Matriz Hessiana o Hessiano de una función f de n variable, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.
Definición:
Dada una función real f de n variables reales:
Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como:

, donde


Tomando lasiguiente forma



Además, se tiene que si: con A un conjunto abierto y f clase , entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matriz simétrica.

 Aplicación de la matriz hessiana
Concavidad/Convexidad
Sea un conjunto abierto y una función con derivadas segundas continuas:
1. Es cóncava si y solo si, ,la matriz hessiana es semidefinida negativa.
2. Si la matriz hessiana es definida negativa, entonces es estrictamente cóncava.
Si es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.
3. es convexa si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida positiva.
4. Si la matriz hessiana es definida positiva, entonces f esestrictamente convexa.
Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.
Notación en Derivadas Parciales
Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas parciales:




Matriz Hessiana de Dos Variables
Si se tiene un ejercicio condos variables, se obtendrá una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres variables, la matriz hessiana será 3 x 3, y así sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:




Matriz Hessiana de Tres Variables
Antes de presentar un ejemplo, se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tresvariables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda de esta forma:



 Significado de cada elemento de la Matriz de Tres Variables
Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado sederiva por segunda vez con respecto a x nuevamente.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
Significa que se deriva lafunción original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a y nuevamente.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segundavez pero ahora con respecto a z.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
Significa que se deriva la función original porprimera vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a z nuevamente.
NOTA: Tómese en cuenta que:
, , , …
 Matriz Hessiana de N Variables
Se han presentado hasta ahora las matrices hessianas de 2 y de 3 variables. Sin embargo, existen problemas en los que hay más de tres variables, para lo cual se presenta a continuación lo que se tiene que hacer...