Matriz inversa

MATRIZ INVERSA

FUNDAMENTACIÓN BÁSICA

1. Definición de matriz

Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas.

Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. El símbolo m x n se lee “m por n”.

El vector renglón
() se llama renglón o fila i
El vector columna se llama columna j

La componente oelemento ij de A, denotado por aij, es el número que aparece en el fila i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A como A= ( aij). Por lo general las matrices se denotarán con letras mayúsculas.

Por ejemplo, los coeficientes de las variables X1, X2, X3 en el siguiente sistema:

2X1 + 4X2 + 6X3 =18
4X1 +5X2 + 6X3 =24 (1)
3X1 + X2 -2X3 =4

Se puede escribircomo elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:
A=24645631-2

2. Tipos de Matrices

3.1. Matriz Cuadrada

Si A es una matriz m x n donde el número de filas es igual al número de columnas; es decir, m=n. Entonces la matriz A es de orden n o llamada matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal casose dice que dicha matriz no tiene inversa.
Ejemplo: Sean las matrices


Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

3.2. Matriz Transpuesta

Sea A = (aij) una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe At, es una matriz de n x m obtenida al intercambiar los renglones por las columnas de A. De manera breve, se puede escribir At =(aji). En otras palabras,

Si , entonces

Simplemente se coloca el renglón o fila i de A como la columna i de At y la columna j de A como el renglón o fila j de At.

Ejemplo:
A=230120356 At=213325006

3.3. Matriz Simétrica

La matriz (cuadrada) B de n x n se llama simétrica si Bt = B Es decir, las columnas de A son también los renglones o filas de B.

Ejemplo:3.4. Determinante

Los determinantes para una matriz de orden 2 se resuelven de la siguiente manera:

detA=A=a11a12a21a22=a11∙a22-a12∙a21

Determinantes de orden 3 son calculados con la regla de Sarros como sigue:

Dada una matriz cuadrada A de tamaño (n) se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna)elegida, por sus correspondientes adjuntos.

det(A) = ai1 ∙ Ai1 + ai2 ∙ Ai2+…+ ain ∙ Ain
det(A) = a1j ∙ A1j + a2j ∙ A2j+…+ anj ∙ Anj

Para una matriz cuadrada de orden n, A = (aij)  se llama adjunto del elemento   aij, y lo representamos por  Aij al producto   (- 1)i+j ∙ aij, es decir:

Aij = (- 1)i+j ∙ aij

La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matrizcuadrada  A   se llama matriz adjunta de  A   y se denota por   Adj(A).  

Los adjuntos de la matriz:
A=123456789

a11=5689=-3 a12=4679=-6 a13=4578=-3
a21=2389=-6 a22=1379=-12 a23=1278=-6
a31=2356=-3 a32=1346=-6 a23=1245=-3

La matriz adjunta de Aes
Adj(A)=-36-3 6-12 6-36-3

3.5. Matriz triangular superior o inferior

Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numéricopara resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.

142034001 100280497
Triangular Superior Triangular Inferior

3.6. Matriz aumentada
La matriz ampliada o aumentada se obtiene al combinar dos...