Matriz Inversa

´ Matrices Invertibles y Elementos de Algebra Matricial
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
12.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 12.2. Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Propiedades de la transpuesta . . . . . . . . 12.4. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Motivaci´n del algoritmo de inversi´n . . .o o 12.6. Algoritmo para invertir una matriz . . . . . 12.7. Propiedades de la inversa . . . . . . . . . . 12.8. Ecuaciones con matrices . . . . . . . . . . . 12.9. Complejidad computacional de la inversi´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 3 4 5 8

12.1.

Introducci´n o

En esta lecturaveremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada (En caso de que la matriz inversa a ella exista). Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta de una matriz as´ como un m´todo eficiente de inversi´n. Terminaremos con la aplicaci´n de estos conceptos a la ı e o o soluci´n de cierto tipo de ecuaciones matriciales. o

12.2.

Transpuesta

Definici´n12.1 o La matriz transpuesta de una matriz A n × m es una matriz con dimensiones m × n cuyo elemento (i, j) es precisamente el elemento (j, i) de la matriz A. A esta matriz se le simboliza AT . Una forma f´cil de construir a AT es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas. Ejemplo 12.1 Determine AT si A=

1 2 3 4 5 6

.

Soluci´n o Siguiendo la indicaci´n de tomar los renglones de Acomo columnas para AT tenemos: o   1 4 AT =  2 5  3 6

12.3.

Propiedades de la transpuesta
T

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: AT

= A.

2. La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B)T = AT + BT . 3. (c A)T = c AT . 4. (A B)T = BT AT . La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario12.4.

Matrices invertibles

Definici´n 12.2 o Se dice que una matriz A cuadrada n × n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe una matriz B n × n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple: AB = I y BA = I (1)

Una matriz invertible s´lo tiene una inversa, es decir, la inversa es unica. La unica inversa de una matriz o ´ ´ invertible A se representa porA−1 . As´ ı A A−1 = I = A−1 A (2)

Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen matrices cuadradas que no pueden ser invertibles (La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices se llama matriz singular o matriz no invertible.

12.5.

Motivaci´n del algoritmo de inversi´n o o

Veamos un ejemplo que motivar´ el algoritmopara obtener la inversa de una matriz. a Ejemplo 12.2 Determine la inversa de 1 −2 A= 3 −5 Suponga que buscamos una matriz B, 2 × 2 tal que A B = I2×2 : 1 −2 3 −5 As´ se debe cumplir: ı Para elemento (1,1) del producto: 1 · b11 − 2 · b21 = 1 Para elemento (2,1) del producto: 3 · b11 − 5 · b21 = 0 Para elemento (1,2) del producto: 1 · b12 − 2 · b22 = 0 Para elemento (2,2) del producto: 3 · b12 − 5· b22 = 1 Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otro b21 y b22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan: 1 −2 1 1 0 −5 → 3 −5 0 0 1 −3 2 b11 b12 b21 b22 = 1 0 0 1

y 1 −2 0 3 −5 1 → 1 0 2 0 1 1

Y as´ b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversa como ı A−1 = B = Observemos que Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes:...