Matriz Inversa

Matriz inversa

MATRIZ INVERSA
Autores:

Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez

(jrodriguezvel@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Definición

Propiedades

MATRIZ
INVERSA

Aplicaciones

Cálculo

Método de
Gauss

Por
determinantes
y adjuntos

Resolución
de
ecuaciones
matriciales

Con Mathcad

INTRODUCCIÓN

Resolución
de sistemasde
ecuaciones
lineales

___________________

Es de todos sabido que nuestra vida diaria contemporánea requiere de una cantidad de
conocimientos matemáticos cada vez más importantes, sin los cuales carece, virtualmente, de
significado.
En los bloques anteriores se ha visto que la teoría de matrices permite el manejo de gran cantidad de
datos y es esencial, no sólo para su uso en diferentes modelosmatemáticos sino también para
diversos métodos estadísticos. [W1]

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

1

Matriz inversa
El objeto de este e-bloque es el desarrollo y estudio de un tema básico de álgebra lineal como es el
cálculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de ésta a modelos matemáticos.
En éste se intenta, sin perderrigurosidad matemática, clarificar algunos conceptos para hacerlos
accesibles a un público no matemático. Sin embargo, y dada la amplia magnitud del tema a abarcar,
con este bloque no se pretende acabar con el tema sino sentar las bases y fundamentos del mismo e
incentivar su estudio, profundización y aplicación posterior.
El cálculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente se abordadesde el punto de
vista del método de Gauss y, después por determinantes y adjuntos; posteriormente, se hace uso del
software Mathcad para su cálculo y, por último, se muestran diversas aplicaciones de ésta.
Del mismo modo, las aplicaciones que se presentan son ejemplos dentro de un campo muy amplio.
Incluso los ejemplos mostrados no finalizan en lo escrito en este bloque, sino que es unaintroducción
al mismo, con el objeto de ilustrar el uso de matrices en problemas no matemáticos, por una parte y
hacer accesible los modelos y sus diversas derivaciones, por otra.

OBJETIVOS
•
•
•
•
•

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Aprender a averiguar cuándo existe la matriz inversa de una matriz dada.
Aprender a calcular, si existe, la matriz inversa de una matriz.
Conocer las propiedades de la matrizinversa.
Conocer algunas aplicaciones de la matriz inversa.
Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con la matriz inversa.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks sobre álgebra de matrices y
determinantes, así como los introductorios a Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
‰

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Definiciónde matriz inversa [1]

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que
A·B = B·A = I
siendo I la matriz identidad.
-1

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A .
Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es
singular.
Ejemplo:
2 5
 3 − 5
 y B = 
 Entonces:
SupongamosA = 
1
3


− 1 2 

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

2

Matriz inversa
 2 5   3 − 5   6 − 5 − 10 + 10   1 0 
 ⋅ 
 = 
 = 
 = I
A.B = 
 1 3   − 1 2   3 − 3 − 5 + 6   0 1
 3 − 5   2 5   6 − 5 15 − 15   1 0 
 ⋅ 
 = 
 = 
 = I
B.A = 
 − 1 2   1 3   − 2 + 2 − 5 + 6   0 1
Puestoque AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

‰

Condición de inversibilidad [W3]

El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer
inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el
producto A·B significa que podamos hacer el producto B·A
Además, que dos matrices sean inversas...